こんにちは、ひかりです。
今回はベクトル解析から微分形式の積分と微分形式による積分定理について解説していきます。
この記事では以下のことを紹介します。
- 微分形式の積分について
- 微分形式による積分定理について
微分形式の積分
今回は前回の目的でもあった3つの積分定理(ガウスの発散定理・グリーンの定理・ストークスの定理)を1つの式にまとめることを考えていきます。
そのために微分形式の積分を見ていきましょう。まず、1次微分形式の積分を次で定めます。
曲線
$$ C : \mathbf{p}(t)=(x_1(t),x_2(t),x_3(t)) \quad (a≦t≦b) $$
上の1次微分形式
$$ \omega=a_1(\mathbf{p})dx_1+a_2(\mathbf{p})dx_2+a_3(\mathbf{p})dx_3=\mathbf{A}(\mathbf{p})\cdot d\mathbf{p} $$
(ここで、 \( \mathbf{A}=(a_1,a_2,a_3) \) )
の積分を次で定義する。
$$ \int_C\omega=\int_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{p}=\sum_{j=1}^3\int_a^ba_j(\mathbf{p}(t))\cdot \frac{dx_j(t)}{dt}dt $$
次に、2次微分形式の積分を定めます。そのために、曲面
$$ S : \mathbf{p}(u,v)=(x_1(u,v),x_2(u,v),x_3(u,v)) \quad ((u,v)\in D) $$
上の2次微分形式
$$ \omega=a_1(\mathbf{p})dx_2\wedge dx_3+a_2(\mathbf{p})dx_3\wedge dx_1+a_3(\mathbf{p})dx_1\wedge dx_2 $$
は次のように変形することができることに注意しておきましょう。
\( x_1=x_1(u,v), \ x_2=x_2(u,v) \) より、
$$ \begin{align} dx_1\wedge dx_2&=\left( \frac{\partial x_1}{\partial u}du+\frac{\partial x_1}{\partial v}dv\right) \wedge \left( \frac{\partial x_2}{\partial u}du+\frac{\partial x_2}{\partial v}dv\right) \\ &=\left( \frac{\partial x_1}{\partial u}\frac{\partial x_2}{\partial v}-\frac{\partial x_2}{\partial u}\frac{\partial x_1}{\partial v} \right) du \wedge dv \\ &=\frac{\partial (x_1,x_2)}{\partial (u,v)}dudv \end{align} \tag{1} $$
$$ dx_2\wedge dx_3=\left( \frac{\partial x_2}{\partial u}\frac{\partial x_3}{\partial v}-\frac{\partial x_3}{\partial u}\frac{\partial x_2}{\partial v} \right) du \wedge dv=\frac{\partial (x_2,x_3)}{\partial (u,v)}dudv \tag{2} $$
$$ dx_3\wedge dx_1=\left( \frac{\partial x_3}{\partial u}\frac{\partial x_1}{\partial v}-\frac{\partial x_1}{\partial u}\frac{\partial x_3}{\partial v} \right) du \wedge dv=\frac{\partial (x_3,x_1)}{\partial (u,v)}dudv \tag{3} $$
ここで、
$$ du\wedge dv=dudv, \quad \frac{\partial (x_j,x_k)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x_j}{\partial u} & \frac{\partial x_j}{\partial v} \\ \frac{\partial x_k}{\partial u} & \frac{\partial x_k}{\partial v} \end{vmatrix} $$
したがって、
$$ \omega=a_1\frac{\partial (x_2,x_3)}{\partial (u,v)}dudv+a_2\frac{\partial (x_3,x_1)}{\partial (u,v)}dudv+a_3\frac{\partial (x_1,x_2)}{\partial (u,v)}dudv $$
となるので、2次微分形式の積分を次で定めます。
曲面
$$ S : \mathbf{p}(u,v)=(x_1(u,v),x_2(u,v),x_3(u,v)) \quad ((u,v)\in D) $$
上の2次微分形式
$$ \begin{align} \omega&=a_1(\mathbf{p})dx_2\wedge dx_3+a_2(\mathbf{p})dx_3\wedge dx_1+a_3(\mathbf{p})dx_1\wedge dx_2 \\ &=a_1\frac{\partial (x_2,x_3)}{\partial (u,v)}dudv+a_2\frac{\partial (x_3,x_1)}{\partial (u,v)}dudv+a_3\frac{\partial (x_1,x_2)}{\partial (u,v)}dudv \end{align} $$
(ここで、 \( \mathbf{A}=(a_1,a_2,a_3) \) )
の積分を次で定義する。
$$ \begin{align} \int_S\omega&=\int_Da_1(\mathbf{p}(u,v))\frac{\partial (x_2,x_3)}{\partial (u,v)}dudv+\int_Da_2(\mathbf{p}(u,v))\frac{\partial (x_3,x_1)}{\partial (u,v)}dudv \\ & \quad +\int_Da_3(\mathbf{p}(u,v))\frac{\partial (x_1,x_2)}{\partial (u,v)}dudv \end{align} $$
ここで、
$$ \frac{\partial (x_j,x_k)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x_j}{\partial u} & \frac{\partial x_j}{\partial v} \\ \frac{\partial x_k}{\partial u} & \frac{\partial x_k}{\partial v} \end{vmatrix} $$
最後に、3次微分形式の積分を次で定めます。
領域 \( V \) 上の3次微分形式
$$ \omega=a(x_1,x_2,x_3)dx_1\wedge dx_2 \wedge dx_3 $$
の積分を次で定義する。
$$ \int_V\omega =\iiint_Va(x_1,x_2,x_3)dx_1dx_2dx_3 $$
微分形式による積分定理
この微分形式の積分を用いることにより、微分積分学の基本定理
\[ \int_a^b\frac{df}{dx}dx=f(b)-f(a) \]
は次のように一般化できることが知られています。
領域 \( D \) 上の微分形式 \( \omega \) に対して、次が成り立つ。
$$ \int_D d\omega=\int_{\partial D}\omega $$
ここで、 \( \partial D \) は \( D \) の境界である。
この定理の式は3つの積分定理(ガウスの発散定理・グリーンの定理・ストークスの定理)を1つの式にまとめたものと見ることができます。
例えば、ガウスの発散定理を導出してみましょう。
領域 \( D \) として、 \( x_1x_2x_3 \) 空間内の領域 \( V \) を考えます。
すると、 \( S=\partial V \) は \( x_1x_2x_3 \) 空間内の曲面となります。
この \( S \) が次の位置ベクトルで表現できたとします。
$$ S : \mathbf{p}(u,v)=(x_1(u,v),x_2(u,v),x_3(u,v)) \quad ((u,v)\in D) $$
このとき、
$$ dS=\left|\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v} \right|dudv, \quad \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)=\frac{\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v}}{\left|\frac{\partial \mathbf{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \mathbf{p}}{\partial v}\right|} $$
であるので、
$$ n_1dS=\left( \frac{\partial x_2}{\partial u}\frac{\partial x_3}{\partial v}-\frac{\partial x_3}{\partial u}\frac{\partial x_2}{\partial v} \right) dudv $$
$$ n_2dS=\left( \frac{\partial x_3}{\partial u}\frac{\partial x_1}{\partial v}-\frac{\partial x_1}{\partial u}\frac{\partial x_3}{\partial v} \right) dudv $$
$$ n_3dS=\left( \frac{\partial x_1}{\partial u}\frac{\partial x_2}{\partial v}-\frac{\partial x_2}{\partial u}\frac{\partial x_1}{\partial v} \right) dudv $$
したがって、2次微分形式
$$ \omega=a_1(\mathbf{p})dx_2\wedge dx_3+a_2(\mathbf{p})dx_3\wedge dx_1+a_3(\mathbf{p})dx_1\wedge dx_2 $$
(ここで、 \( \mathbf{A}=(a_1,a_2,a_3) \) )
を考えると、式(1)-(3)より、
$$ \begin{align} \omega&=a_1dx_2\wedge dx_3+a_2dx_3\wedge dx_1+a_3dx_1\wedge dx_2 \\ &=a_1\left( \frac{\partial x_2}{\partial u}\frac{\partial x_3}{\partial v}-\frac{\partial x_3}{\partial u}\frac{\partial x_2}{\partial v} \right) dudv+a_2\left( \frac{\partial x_3}{\partial u}\frac{\partial x_1}{\partial v}-\frac{\partial x_1}{\partial u}\frac{\partial x_3}{\partial v} \right) dudv \\ & \quad +a_3\left( \frac{\partial x_1}{\partial u}\frac{\partial x_2}{\partial v}-\frac{\partial x_2}{\partial u}\frac{\partial x_1}{\partial v} \right) dudv \\ &=(a_1n_1+a_2n_2+a_3n_3)dS=\mathbf{A}\cdot \mathbf{n}dS \end{align} $$
したがって、
$$ \int_{\partial V}\omega=\int_{S}\mathbf{A}\cdot \mathbf{n}dS $$
一方で、ベクトル解析14の定理2(2)より、
\[ d\omega=(\text{div} \ \mathbf{A})dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3 \]
となるので、
$$ \int_Vd\omega=\int_V(\text{div} \ \mathbf{A})dx_1\wedge dx_2\wedge dx_3=\iiint_V(\text{div} \ \mathbf{A})dx_1dx_2dx_3 $$
よって、定理1より、
$$ \iiint_V(\text{div} \ \mathbf{A})dx_1dx_2dx_3=\int_{S}\mathbf{A}\cdot \mathbf{n}dS $$
となり、ガウスの発散定理が得られました。
(グリーンの定理やストークスの定理についても同様に得られます。)
今回まででベクトル解析の内容について標準的なところまで含めて一通り紹介しました。お疲れ様でした。
それでは、またどこかの記事でお会いしましょう。ひかりでした。