こんにちは、ひかりです。
この「ベクトル解析」シリーズでは、微分積分学や線形代数学を勉強した方向けにベクトル解析の基礎的な知識をひと通り紹介しています。
微分積分学と線形代数学のシリーズについては以下のリンクからご覧ください。
ベクトル解析とは
いままでの微分積分学で学んできた微分や積分は、1つまたは複数の変数に対して1つのスカラーを返す関数 \( f \) に関して定義されたものでした。
このベクトル解析では1つまたは複数の変数に対して1つのベクトルを返す関数に対して微分や積分を考えていきます。
特に、3次元ベクトルを返す関数というのは電磁気学をはじめ物理学の多くのところに現れるため、理系の学部の多くで学ぶことになる分野となります。
ベクトル値関数の微分積分について
- ベクトル解析01：ベクトルの内積・外積と3重積
- ベクトル解析02：1変数のベクトル値関数とその微分
ベクトル解析03：曲率・捩率とフレネ・セレーの公式
ベクトル解析04：1変数のベクトル値関数の積分
ベクトル解析05：多変数のベクトル値関数の微分積分 -
はじめに1つまたは複数の変数に対して1つのベクトルを返す関数であるベクトル値関数というものを考えていきます。
これと区別していままでの関数のことをスカラー値関数といい、ベクトル解析においてはこのスカラー値関数とベクトル値関数についてさまざまなことを見ていくことになります。
まずはスカラー値関数とほぼ同様に定義することができる通常の微分積分について紹介しています。
記事については以下のリンクからご覧ください。
スカラー場とベクトル場について
- ベクトル解析06：方向微分とスカラー場・ベクトル場
- ベクトル解析07：ベクトルの勾配・発散・回転
ベクトル解析08：勾配・発散・回転の性質
ベクトル解析09：スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャル -
ここでは物理学をはじめ、さまざまな場所でよく用いられるスカラー場とベクトル場の定義をして、それらの間の演算について考えていきます。
例えば、日本全国の気温というのは気温というスカラーに関するスカラー場となり、日本全国の風向というのは風の強さと向きというベクトルに関するベクトル場となります。
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スカラー場とベクトル場の線積分・面積分と積分公式について
- ベクトル解析10：スカラー場とベクトル場の線積分
- ベクトル解析11：スカラー場とベクトル場の面積分
ベクトル解析12：ガウスの発散定理とガウスの積分
ベクトル解析13：ストークスの定理とグリーンの定理 -
ここでは、スカラー場とベクトル場の線積分と面積分について解説しています。
前回までの記事にて、曲線や曲面は位置ベクトルで表現できました。
それを用いることにより、スカラー場やベクトル場をある曲線や曲面に沿って積分することができます。
また、線積分や面積分に関する重要な積分公式についても考えていきます。
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微分形式について
- ベクトル解析14：微分形式の定義とその性質
- ベクトル解析15：微分形式の積分と微分形式による積分定理
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最後に微分形式について解説しています。
今までの記事にてガウスの発散定理・ストークスの定理・グリーンの定理の3つの積分定理を紹介しました。
それらは微分形式を用いると1つにまとめることができます。
また、その式は微分積分学の基本定理の一般化であり、これにより3つの積分定理の関連性が見えてきます。
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