確率・統計(統計検定2級対応)10：二項分布と幾何分布

$$ E(X)=1\times p+0\times (1-p)=p $$

$$ E(X^2)=1^2\times p+0^2\times (1-p)=p $$

$$ V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=p-p^2=p(1-p) $$

(1)　$$ \begin{align} E(X)&=\sum_{k=0}^nk{}_nC_kp^kq^{n-k}=\sum_{k=0}^nk\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} \\ &=np\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{n-k} \quad (k=0のときは和の中身は0) \\ &=np\sum_{\ell=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{\ell!(n-1-\ell)!}p^{\ell}q^{n-1-\ell} \quad (\ell=k-1とおく) \\ &=np\sum_{\ell=0}^{n-1}{}_{n-1}C_{\ell}p^{\ell}q^{n-1-\ell} \\ &=np(p+q)^{n-1} \quad (二項定理より) \\ &=np \quad (p+q=1より) \end{align} $$

$$ \begin{align} E[X(X-1)]&=\sum_{k=0}^nk(k-1){}_nC_kp^kq^{n-k} \\ &=\sum_{k=0}^nk(k-1)\frac{n!}{k!(n-k)!}p^kq^{n-k} \\ &=n(n-1)p^2\sum_{k=2}^n\frac{(n-2)!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}q^{n-k} \quad (k=0,1のときは和の中身は0) \\ &=n(n-1)p^2\sum_{\ell=0}^{n-2}\frac{(n-2)!}{\ell!(n-2-\ell)!}p^{\ell}q^{n-2-\ell} \quad (\ell=k-2とおく) \\ &=n(n-1)p^2\sum_{\ell=0}^{n-2}{}_{n-2}C_{\ell}p^{\ell}q^{n-2-\ell} \\ &=n(n-1)p^2(p+q)^{n-2} \quad (二項定理より) \\ &=n(n-1)p^2 \quad (p+q=1より) \end{align} $$

より、

$$ \begin{align} V(X)&=E(X^2)-\{ E(X) \}^2=E[X(X-1)]+E(X)-\{ E(X) \}^2 \\ &=n(n-1)p^2+np-n^2p^2 \\ &=np(1-p)=npq \end{align} $$

(2)　二項定理より、

$$ \begin{align} M_X(t)&=E(e^{tX})=\sum_{k=0}^ne^{tk}{}_nC_kp^kq^{n-k} \\ &=\sum_{k=0}^n{}_nC_k(pe^t)^kq^{n-k}=(q+pe^t)^n \end{align} $$

(3)　\( X \) のモーメント母関数は \( (q+pe^t)^n \) 、 \( Y \) のモーメント母関数は \( (q+pe^t)^m \) である。

このとき、 \( X+Y \) のモーメント母関数は \( X \) と \( Y \) は独立であるので、確率・統計09の定理3のあとの注意より、

$$ \begin{align} M_{X+Y}(t)&=E(e^{X+Y})=E(e^Xe^Y) \\ &=E(e^X)E(e^Y) \quad (XとYは独立であることより) \\ &=(q+pe^t)^n(q+pe^t)^m=(q+pe^t)^{n+m} \end{align} $$

したがって、 \( X+Y \) は \( B(n+m,p) \) に従う。

(1)　$$ \begin{align} E(X)&=\sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}p=p\sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1} \\ &=p\sum_{k=1}^{\infty}\frac{d}{dq}(q^k) \\ &=p\frac{d}{dq}\sum_{k=1}^{\infty}q^k \quad (0<q<1より微分と無限和の交換可能) \\ &=p\frac{d}{dq}\left(\frac{q}{1-q} \right)=p\cdot \frac{1}{(1-q)^2}=\frac{1}{p} \end{align} $$

また、

$$ \begin{align} E[X(X-1)]&=\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)q^{k-1}p \\ &=pq\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)q^{k-2} \quad (k=1のとき和の中身は0) \\ &=pq\sum_{k=2}^{\infty}\frac{d^2}{dq^2}(q^k) \\ &=pq\frac{d^2}{dq^2}\sum_{k=2}^{\infty}q^k \quad (0<q<1より微分と無限和の交換可能) \\ &=pq\frac{d^2}{dq^2}\left(\frac{q^2}{1-q} \right)=pq\cdot \frac{2}{(1-q)^3}=\frac{2q}{p^2} \end{align} $$

より、

$$ \begin{align} V(X)&=E(X^2)-\{E(X)\}^2=E[X(X-1)]+E(X)-\{E(X)\}^2 \\ &=\frac{2q}{p^2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p^2}(2q+p-1)=\frac{q}{p^2} \end{align} $$

(2)　$$ \begin{align} M_X(t)&=E(e^{tX})=\sum_{k=1}^{\infty}e^{tk}q^{k-1}p=\frac{p}{q}\sum_{k=1}^{\infty}(qe^t)^k \\ &=\frac{p}{q}\left(\frac{qe^t}{1-qe^t} \right)=\frac{pe^t}{1-qe^t} \end{align} $$

(3)　条件付き確率の定義より、

$$ \begin{align} P(X=n+j \ | \ X>n)&=\frac{P(X=n+j, X>n)}{P(X>n)} \\ &=\frac{P(X=n+j)}{P(X>n)} \quad (X=n+jであればX>nなのは当然) \\ &=\frac{q^{n+j-1}p}{\displaystyle \sum_{k=n+1}^{\infty}q^{k-1}p}=\frac{q^{n+j-1}p}{\displaystyle \frac{q^np}{1-q}}=q^{j-1}p=P(X=j) \end{align} $$

(1)　負の二項定理

$$ (1-q)^{-r}=\sum_{k=0}^{\infty}{}_{-r}C_k(-q)^k=\sum_{k=0}^{\infty}{}_{k+r-1}C_kq^k $$

を用いることにより、

$$ \begin{align} M_X(t)&=E(e^{tX})=\sum_{k=0}^{\infty}e^{tk}{}_{k+r-1}C_kp^rq^k \\ &=p^r\sum_{k=0}^{\infty}{}_{k+r-1}C_k(qe^t)^k=p^r(1-qe^t)^{-r}=\left(\frac{p}{1-qe^t}\right)^r \end{align} $$

(2)　(1)のモーメント母関数 \( M_X(t) \) を微分すると、

$$ \begin{align} M_X'(t)&=\frac{d}{dt}\left(\frac{p}{1-qe^t}\right)^r=\frac{-p^r\{(1-qe^t)^r\}’}{(1-qe^t)^{2r}} \\ &=\frac{-rp^r(1-qe^t)^{r-1}(-qe^t)}{(1-qe^t)^{2r}} \\ &=\frac{rp^rqe^t(1-qe^t)^{r-1}}{(1-qe^t)^{2r}}=\frac{rp^rqe^t}{(1-qe^t)^{r+1}} \end{align} $$

$$ \begin{align} M_X^{\prime\prime}(t)&=\frac{d}{dt}\left(\frac{rp^rqe^t}{(1-qe^t)^{r+1}}\right) \\ &=\frac{(rp^rqe^t)'(1-qe^t)^{r+1}-(rp^rqe^t)\{(1-qe^t)^{r+1}\}’}{(1-qe^t)^{2r+2}} \\ &=\frac{(rp^rqe^t)(1-qe^t)^{r+1}+(rp^rq^2e^{2t})(r+1)(1-qe^t)^r}{(1-qe^t)^{2r+2}} \\ &=\frac{(rp^rqe^t)(1-qe^t)+(rp^rq^2e^{2t})(r+1)}{(1-qe^t)^{r+2}} \end{align} $$

したがって、

$$ \begin{align} E(X)&=M_X'(0)=\frac{rp^rq}{(1-q)^{r+1}}=\frac{rq}{p} \end{align} $$

$$ \begin{align} E(X^2)&=M_X^{\prime\prime}(0)=\frac{(rp^rq)(1-q)+(rp^rq^2)(r+1)}{(1-q)^{r+2}} \\ &=\frac{rq(1-q)+(rq^2)(r+1)}{p^2} \\ &=\frac{rq-rq^2+r^2q^2+rq^2}{p^2}=\frac{r^2q^2+rq}{p^2} \end{align} $$

$$ \begin{align} V(X)&=E(X^2)-\{ E(X) \}^2=\frac{r^2q^2+rq}{p^2}-\frac{r^2q^2}{p^2}=\frac{rq}{p^2} \end{align} $$

(3)　\( X \) のモーメント母関数は \( \left(\frac{p}{1-qe^t}\right)^r \) 、 \( Y \) のモーメント母関数は \( \left(\frac{p}{1-qe^t}\right)^s \) である。

このとき、 \( X+Y \) のモーメント母関数は \( X \) と \( Y \) は独立であるので、確率・統計09の定理3のあとの注意より、

$$ \begin{align} M_{X+Y}(t)&=E(e^{X+Y})=E(e^Xe^Y) \\ &=E(e^X)E(e^Y) \quad (XとYは独立であることより) \\ &=\left(\frac{p}{1-qe^t}\right)^r\left(\frac{p}{1-qe^t}\right)^s=\left(\frac{p}{1-qe^t}\right)^{r+s} \end{align} $$

したがって、 \( X+Y \) は \( NB(r+s,p) \) に従う。

(1)　$$ \begin{align} E(X_i)&=\sum_{n_i=0}^nn_i\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k} \\ &=\sum_{n_i=1}^nn_i\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k} \quad (n_i=0のとき和の中身は0) \\ &=\sum_{n_i=1}^n\frac{n\cdot (n-1)!}{n_1!n_2!\cdots(n_i-1)!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_i^{n_i}\cdots p_k^{n_k} \\ &=np_i\sum_{n_i=1}^n\frac{(n-1)!}{n_1!n_2!\cdots(n_i-1)!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_i^{n_i-1}\cdots p_k^{n_k} \\ &=np_i \quad (最後の和は多項分布の周辺分布の和なので1) \end{align} $$

また、

$$ \begin{align} E[X_i(X_i-1)]&=\sum_{n_i=0}^nn_i(n_i-1)\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k} \\ &=\sum_{n_i=2}^nn_i(n_i-1)\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k} \quad (n_i=0,1のとき和の中身は0) \\ &=\sum_{n_i=2}^n\frac{n(n-1)\cdot (n-2)!}{n_1!n_2!\cdots(n_i-2)!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_i^{n_i}\cdots p_k^{n_k} \\ &=n(n-1)p_i^2\sum_{n_i=2}^n\frac{(n-2)!}{n_1!n_2!\cdots(n_i-2)!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_i^{n_i-2}\cdots p_k^{n_k} \\ &=n(n-1)p_i^2 \quad (最後の和は多項分布の周辺分布の和なので1) \end{align} $$

より、

$$ \begin{align} V(X_i)&=E(X^2_i)-\{E(X_i)\}^2=E[X_i(X_i-1)]+E(X_i)-\{E(X_i)\}^2 \\ &=n(n-1)p_i^2+np_i-n^2p_i^2=np_i(1-p_i) \end{align} $$

(2)　\( i<j \) とします。 \( i>j \) でも同様に示せます。

$$ \begin{align} &E(X_iX_j) \\ &=\sum_{\substack{n_i,n_j=0 \\ n=n_i+n_j}}^nn_in_j\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k} \\ &=\sum_{\substack{n_i,n_j=1 \\ n=n_i+n_j}}^{n-1}\frac{n(n-1)\cdot (n-2)!}{n_1!n_2!\cdots(n_i-1)!\cdots (n_j-1)!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_i^{n_i}\cdots p_j^{n_j}\cdots p_k^{n_k} \\ &=n(n-1)p_ip_j\sum_{\substack{n_i,n_j=1 \\ n=n_i+n_j}}^{n-1}\frac{(n-2)!}{n_1!n_2!\cdots(n_i-1)!\cdots (n_j-1)!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_i^{n_i-1}\cdots p_j^{n_j-1}\cdots p_k^{n_k} \\ &=n(n-1)p_ip_j\sum_{\substack{n’_i,n’_j=0 \\ n-2=n’_i+n’_j}}^{n-2}\frac{(n-2)!}{n_1!n_2!\cdots n’_i!\cdots n’_j!\cdots n_k!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_i^{n’_i}\cdots p_j^{n’_j}\cdots p_k^{n_k} \\ &=n(n-1)p_ip_j \quad (最後の和は多項分布の周辺分布の和なので1) \end{align} $$

より、

$$ \begin{align} \text{Cov}(X_i,X_j)&=E(X_iX_j)-E(X_i)E(X_j) \\ &=n(n-1)p_ip_j-n^2p_ip_j=-np_ip_j \end{align} $$