こんにちは、ひかりです。
今回は線形代数学からクラーメルの公式と掃き出し法について解説していきます。
逆行列について知りたい方は前回の記事をご覧ください。
この記事では以下のことを紹介します。
- クラーメルの公式について
- 行列の行基本変形と掃き出し法について
クラーメルの公式
前回の記事で余因子行列を用いた逆行列の求め方を紹介しました。
今回はその逆行列を利用して連立一次方程式を解くことを考えていきます。
\( n \) 個の未知数 \( x_1,x_2,\dots,x_n \) と \( n \) 個の式からなる \( n \) 元連立一次方程式
$$ \begin{align} \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \hspace{4cm} \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\dots+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} \tag{1} \end{align} $$
を考えます。(1)の左辺の係数を並べた行列を
$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} $$ とおき、係数行列といいます。
\( X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \ B=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \) とおくと、(1)は次のように表すことができます。
$$ AX=B $$
前回の記事で紹介した逆行列の公式を用いると次のクラーメルの公式を示すことができます。
連立一次方程式(1)は \( |A|\not=0 \) のとき、次のただ一組の解をもつ。
$$ x_1=\frac{|A_1|}{|A|}, \ x_2=\frac{|A_2|}{|A|}, \ \dots, \ x_n=\frac{|A_n|}{|A|}. $$
ここで、
$$ |A_j|=\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1,j-1} & \color{blue}{b_1} & a_{1,j+1} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \color{blue}{\vdots} & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n,j-1} & \color{blue}{b_n} & a_{n,j+1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} \quad (j=1,2,\dots,n) $$
定理1の証明(気になる方だけクリックしてください)
\( |A|\not=0 \) のとき、 \( A \) は正則なので逆行列 \( A^{-1} \) が存在します。
よって、 \( AX=B \) の両辺に左から \( A^{-1} \) をかけると、次が成り立ちます。
(行列は \( AB=BA \) とは限らないので、どちらからかけるかは重要になります)
$$ \begin{align} A^{-1}(AX)&=A^{-1}B \\ (A^{-1}A)X&=A^{-1}B \\ EX&=A^{-1}B \\ X&=A^{-1}B \end{align} $$
逆行列 \( A^{-1} \) は前回の記事の定理3より、 \( A^{-1}=\frac{1}{|A|}\widetilde{A} \) と表せるので、
$$ X=\left( \frac{1}{|A|}\widetilde{A} \right)B=\frac{1}{|A|}(\widetilde{A}B) $$
ここで、
$$ X=\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \ \widetilde{A}=\begin{pmatrix} \widetilde{a}_{11} & \dots & \widetilde{a}_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \widetilde{a}_{1n} & \dots & \widetilde{a}_{nn} \end{pmatrix}, \ B=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} $$
であるので、 \( X \) の第 \( j \) 成分 \( x_j \) は
$$ \begin{align} x_j&=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} \widetilde{a}_{1j} & \widetilde{a}_{2j} & \cdots & \widetilde{a}_{nj} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} \\ &=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} \widetilde{a}_{1j}b_1 & \widetilde{a}_{2j}b_2 & \cdots & \widetilde{a}_{nj}b_n \end{pmatrix} \end{align} $$
ここで、 \( A \) の第 \( j \) 列を \( b_1,\cdots,b_n \) に置き換えた行列を \( A_j \) とおくと、
$$ |A_j|=\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & b_1 & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & b_n & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=b_1\widetilde{a}_{1j}+b_2\widetilde{a}_{2j}+\cdots+b_n\widetilde{a}_{nj} $$
(2つ目の等号は第 \( j \) 列で展開しています。 \( b_i \) が \( (i,j) \) 成分であることに注意)
したがって、
$$ x_j=\frac{1}{|A|}|A_j|=\frac{|A_j|}{|A|} \quad (j=1,2,\cdots,n) $$
\( X \) のほかに \( Y \) も式(1)の解であるとします。すると、
$$ AX=B, \quad AY=B $$
辺々を引くと、
$$ \begin{align} AX-AY&=B-B \\ A(X-Y)&=O \end{align} $$
両辺に左から \( A^{-1} \) をかけると、
$$ \begin{align} A^{-1}\{ A(X-Y) \}&=A^{-1}O \\ (A^{-1}A)(X-Y)&=O \\ E(X-Y)&=O \\ X-Y&=O \\ X&=Y \end{align} $$
よって、解はただ一組であることが示せました。
\( \begin{align} \begin{cases} 2x_1-x_2+3x_3=6 \\ -x_1+x_2-5x_3=-2 \\ 7x_1-2x_2+4x_3=3 \end{cases} \end{align} \) を解く。
この方程式の係数行列は \( A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & -5 \\ 7 & -2 & 4 \end{pmatrix} \) となる。
\( |A|=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -1 & 1 & -5 \\ 7 & -2 & 4 \end{vmatrix}=4 \) より、この方程式はただ一組の解をもつ。
解は
$$ x_1=\frac{|A_1|}{|A|}=\frac{1}{4}\begin{vmatrix} \color{red}{6} & -1 & 3 \\ \color{red}{-2} & 1 & -5 \\ \color{red}{3} & -2 & 4 \end{vmatrix}=\frac{1}{4}\times (-26)=-\frac{13}{2} $$
$$ x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{1}{4}\begin{vmatrix} 2 & \color{red}{6} & 3 \\ -1 & \color{red}{-2} & -5 \\ 7 & \color{red}{3} & 4 \end{vmatrix}=\frac{1}{4}\times (-139)=-\frac{139}{4} $$
$$ x_3=\frac{|A_3|}{|A|}=\frac{1}{4}\begin{vmatrix} 2 & -1 & \color{red}{6} \\ -1 & 1 & \color{red}{-2} \\ 7 & -2 & \color{red}{3} \end{vmatrix}=\frac{1}{4}\times (-21)=-\frac{21}{4} $$
行列の行基本変形と掃き出し法
連立一次方程式を行列を用いて解く方法をもう一つ紹介します。
次の連立一次方程式を解くことを考えます。
$$ \begin{align} \begin{cases} x+2y=7 \\ 3x-4y=1 \end{cases} \end{align} $$
このとき、 \( A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}, \ X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \ B=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} \) となります。
ここでは、 \( (A|B)=\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 7 \\ 3 & -4 & 1 \end{array}\right) \) と表すことにします。
式変形
$$ \begin{align} \begin{cases} \color{red}{1}x+\color{red}{2}y=\color{blue}{7} \\ \color{red}{3}x\color{red}{-4}y=\color{blue}{1} \end{cases} \end{align} $$
\( \downarrow \) ②式に①式×2を足す
$$ \begin{align} \begin{cases} \color{red}{1}x+\color{red}{2}y=\color{blue}{7} \\ \color{red}{5}x+\color{red}{0}y=\color{blue}{15} \end{cases} \end{align} $$
\( \downarrow \) ②式×\( \frac{1}{5} \)
$$ \begin{align} \begin{cases} \color{red}{1}x+\color{red}{2}y=\color{blue}{7} \\ \color{red}{1}x+\color{red}{0}y=\color{blue}{3} \end{cases} \end{align} $$
\( \downarrow \) ①式に②式×(-1)を足す
$$ \begin{align} \begin{cases} \color{red}{0}x+\color{red}{2}y=\color{blue}{4} \\ \color{red}{1}x+\color{red}{0}y=\color{blue}{3} \end{cases} \end{align} $$
\( \downarrow \) ①式×\( \frac{1}{2} \)
$$ \begin{align} \begin{cases} \color{red}{0}x+\color{red}{1}y=\color{blue}{2} \\ \color{red}{1}x+\color{red}{0}y=\color{blue}{3} \end{cases} \end{align} $$
\( \downarrow \) ①式と②式を入れ替える
$$ \begin{align} \begin{cases} \color{red}{1}x+\color{red}{0}y=\color{blue}{3} \\ \color{red}{0}x+\color{red}{1}y=\color{blue}{2} \end{cases} \end{align} $$
行列変形
$$ \left(\begin{array}{cc|c} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{blue}{7} \\ \color{red}{3} & \color{red}{-4} & \color{blue}{1} \end{array}\right) $$
\( \downarrow \) ②+①×2 (ii)
$$ \left(\begin{array}{cc|c} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{blue}{7} \\ \color{red}{5} & \color{red}{0} & \color{blue}{15} \end{array}\right) $$
\( \downarrow \) ②×\( \frac{1}{5} \) (i)
$$ \left(\begin{array}{cc|c} \color{red}{1} & \color{red}{2} & \color{blue}{7} \\ \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{blue}{3} \end{array}\right) $$
\( \downarrow \) ①+②×(-1) (ii)
$$ \left(\begin{array}{cc|c} \color{red}{0} & \color{red}{2} & \color{blue}{4} \\ \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{blue}{3} \end{array}\right) $$
\( \downarrow \) ①×\( \frac{1}{2} \) (i)
$$ \left(\begin{array}{cc|c} \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{blue}{2} \\ \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{blue}{3} \end{array}\right) $$
\( \downarrow \) ①↔② (iii)
$$ \left(\begin{array}{cc|c} \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{blue}{3} \\ \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{blue}{2} \end{array}\right) $$
式変形と対応して行列変形では次の3つの変形が行われています。
(i) 1つの行を \( k \) 倍する。 \( (k\not=0) \)
(ii) 1つの行に他の行を \( k \) 倍して加える。
(iii) 2つの行を入れ替える。
この3つの変形のことを行列の行基本変形といいます。
また、基本変形を用いて行列に0を多くつくる方法を掃き出し法といいます。
行基本変形
$$ \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{(i) ①×}\frac{1}{2} $$
$$ \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{(iii) ①↔②} $$
行列式の行の変形
$$ \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \to 2\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \quad \text{(L2) ①×}\frac{1}{2} $$
$$ \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \to -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \quad \text{(L3) ①↔②} $$
連立一次方程式(1)の2つの変形の最初と最後を見てみると、
$$ \begin{cases} x+2y=7 \\ 3x-4y=1 \end{cases} \to \begin{cases} x+0y=3 \\ 0x+y=2 \end{cases} $$
$$ \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 7 \\ 3 & -4 & 1 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) $$
このことから、行列の行基本変形を用いて
$$ \left(\begin{array}{cc|c} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & b_2 \end{array}\right) \to \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \alpha \\ 0 & 1 & \beta \end{array}\right) $$
とするのが目標となります。
(1) \( \begin{cases} 3x+2y=0 \\ 2x-4y=16 \end{cases} \) を解く。
$$ \begin{align} & \left(\begin{array}{cc|c} 3 & 2 & 0 \\ 2 & -4 & 16 \end{array}\right) \xrightarrow{\text{②×}\frac{1}{2}} \left(\begin{array}{cc|c} 3 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 8 \end{array}\right) \xrightarrow{\text{①↔②}} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 8 \\ 3 & 2 & 0 \end{array}\right) \\ \xrightarrow{\text{②＋①×(-3)}} & \left(\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 8 \\ 0 & 8 & -24 \end{array}\right) \xrightarrow{\text{②×}\frac{1}{8}} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 8 \\ 0 & 1 & -3 \end{array}\right) \xrightarrow{\text{①＋②×2}} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \end{array}\right) \end{align} $$
よって、解は \( x=2, \ y=-3 \)
(2) \( \begin{cases} 2x-5y-4z=-1 \\ x-3y-2z=0 \\ 3x-7y-z=8 \end{cases} \) を解く。
$$ \begin{align} & \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -5 & -4 & -1 \\ 1 & -3 & -2 & 0 \\ 3 & -7 & -1 & 8 \end{array}\right) \xrightarrow{\text{①↔②}} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -2 & 0 \\ 2 & -5 & -4 & -1 \\ 3 & -7 & -1 & 8 \end{array}\right) \\ \xrightarrow[\text{③＋①×(-3)}]{\text{②＋①×(-2)}} & \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 5 & 8 \end{array}\right) \xrightarrow[\text{③＋②×(-2)}]{\text{①＋②×3}} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 5 & 10 \end{array}\right) \\ \xrightarrow{\text{③×}\frac{1}{5}} & \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \xrightarrow{\text{①＋③×2}} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \end{align} $$
よって、解は \( x=1, \ y=-1, \ z=2 \)
今回はここまでです。お疲れ様でした。また次回にお会いしましょう。