こんにちは、ひかりです。
今回は線形代数学から行列式の定義について解説していきます。
行列式の定義について知りたい方は前回の記事をご覧ください。
この記事では以下のことを紹介します。
- 行列式の様々な性質について
- 行列式の性質のまとめ(3次正方行列で)
- 行列式の性質を用いた行列式の求め方の例について
行列式の性質
前回解説した行列式を、工夫することにより少しでも簡単に求めたい。
そのため、行列式の性質を見ていきます。
(1) $$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{a_{i1}}+\color{blue}{b_{i1}} & \dots & \color{red}{a_{in}}+\color{blue}{b_{in}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{a_{i1}} & \color{red}{\dots} & \color{red}{a_{in}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{blue}{b_{i1}} & \color{blue}{\dots} & \color{blue}{b_{in}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
(2) $$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{ka_{i1}} & \color{red}{\dots} & \color{red}{ka_{in}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=\color{red}{k}\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{a_{i1}} & \color{red}{\dots} & \color{red}{a_{in}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
定理1の証明(気になる方だけクリックしてください)
3次正方行列で示します。
(1) 次を示します。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{red}{a_{21}}+\color{blue}{b_{21}} & \color{red}{a_{22}}+\color{blue}{b_{22}} & \color{red}{a_{23}}+\color{blue}{b_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{red}{a_{21}} & \color{red}{a_{22}} & \color{red}{a_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{blue}{b_{21}} & \color{blue}{b_{22}} & \color{blue}{b_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$
右辺の2つの行列式を、それぞれ第2行で展開すると、
$$ \begin{align} &\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\{ a_{21}\widetilde{a}_{21}+a_{22}\widetilde{a}_{22}+a_{23}\widetilde{a}_{23} \}+\{ b_{21}\widetilde{b}_{21}+b_{22}\widetilde{b}_{22}+b_{23}\widetilde{b}_{23} \} \\ &=\left\{ a_{21}\cdot (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{22}\cdot (-1)^{2+2}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{23}\cdot (-1)^{2+3}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}
\right\} \\ &\quad +\left\{ b_{21}\cdot (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+b_{22}\cdot (-1)^{2+2}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+b_{23}\cdot (-1)^{2+3}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}
\right\} \\ &=(a_{21}+b_{21})\cdot (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+(a_{22}+b_{22})\cdot (-1)^{2+2}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} \\ &\quad +(a_{23}+b_{23})\cdot (-1)^{2+3}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\ &=(a_{21}+b_{21})\widetilde{a}_{21}+(a_{22}+b_{22})\widetilde{a}_{22}+(a_{23}+b_{23})\widetilde{a}_{23} \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \end{align} $$
(2) 次を示します。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{red}{ka_{21}} & \color{red}{ka_{22}} & \color{red}{ka_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=\color{red}{k}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{red}{a_{21}} & \color{red}{a_{22}} & \color{red}{a_{23}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$
右辺の行列式を第2行で展開すると、
$$ \begin{align} &k\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=k(a_{21}\widetilde{a}_{21}+a_{22}\widetilde{a}_{22}+a_{23}\widetilde{a}_{23}) \\ &=(ka_{21})\widetilde{a}_{21}+(ka_{22})\widetilde{a}_{22}+(ka_{23})\widetilde{a}_{23} \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ka_{21} & ka_{22} & ka_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \end{align} $$
2つの隣り合った行を入れ替えた行列式はもとの行列式の \( (-1) \) 倍となる。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{a_{i1}} & \color{red}{\dots} & \color{red}{a_{in}} \\ \color{blue}{a_{i+1,1}} & \color{blue}{\dots} & \color{blue}{a_{i+1,n}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{blue}{a_{i+1,1}} & \color{blue}{\dots} & \color{blue}{a_{i+1,n}} \\ \color{red}{a_{i1}} & \color{red}{\dots} & \color{red}{a_{in}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
(マイナスがつくことに注意)
定理2の証明(気になる方だけクリックしてください)
3次正方行列で示します。つまり、次を示します。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{red}{a_{21}} & \color{red}{a_{22}} & \color{red}{a_{23}} \\ \color{blue}{a_{31}} & \color{blue}{a_{32}} & \color{blue}{a_{33}} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{blue}{a_{31}} & \color{blue}{a_{32}} & \color{blue}{a_{33}} \\ \color{red}{a_{21}} & \color{red}{a_{22}} & \color{red}{a_{23}} \end{vmatrix} $$
左辺の行列式を第2行で展開すると、
$$ \begin{align} &\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} &a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=a_{21}\widetilde{a}_{21}+a_{22}\widetilde{a}_{22}+a_{23}\widetilde{a}_{23} \\ &=a_{21}\cdot(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{22}\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{23}\cdot (-1)^{2+3}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \end{align} $$
今度は右辺の行列式を第3行で展開すると、
$$ \begin{align} &-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} &a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{vmatrix}=-(a_{21}\widetilde{a}_{21}+a_{22}\widetilde{a}_{22}+a_{23}\widetilde{a}_{23}) \\ &=-\left\{ a_{21}\cdot(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{22}\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+a_{23}\cdot (-1)^{3+3}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \right\} \end{align} $$
よって、符号に注意すれば、
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} &a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} &a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} $$
定理2は隣どうしの行の入れ替えに関するものですが、その入れ替えをくり返すことでどの2つの行の入れ替えに関しても次が成り立ちます。
2つの行(場所は問わない)を入れ替えた行列式はもとの行列式の \( (-1) \) 倍となる。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{a_{i1}} & \color{red}{\dots} & \color{red}{a_{in}} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{blue}{a_{j1}} & \color{blue}{\dots} & \color{blue}{a_{jn}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{blue}{a_{j1}} & \color{blue}{\dots} & \color{blue}{a_{jn}} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{a_{i1}} & \color{red}{\dots} & \color{red}{a_{in}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
(マイナスがつくことに注意)
定理3の証明(気になる方だけクリックしてください)
定理2より、隣どうしの行を入れ替えるたびに行列式の符号が反転していきます。
よって、第 \( i \) 行と第 \( j \) 行 \( (j>i) \) を入れ替えるには、隣どうしの入れ替えを \( 2(j-i)-1 \) 回行わなければなりません。
(第 \( i \) 行を第 \( j \) 行に移動させるのに \( j-i \) 回かかり、その後第 \( j \) 行(この時点で \( j-1 \) 行目にいる)を第 \( i \) 行に移動させるのに \( j-i-1 \) 回かかります。)
このとき、行列式の符号を考えてみると、
$$ (-1)^{2(j-i)-1}=(-1)^{-1}=-1 $$
より、行列式は \( (-1) \) 倍されることになります。
2つの行が等しい行列の行列式は0となる。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{c_1} & \color{red}{\dots} & \color{red}{c_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{c_1} & \color{red}{\dots} & \color{red}{c_n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=0 $$
定理4の証明(気になる方だけクリックしてください)
等しい行を第 \( i \) 行と第 \( j \) 行 \( (j>i) \) とします。
このとき、第 \( i \) 行と第 \( j \) 行を入れ替えると、定理3より、
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{c_1} & \color{red}{\dots} & \color{red}{c_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{c_1} & \color{red}{\dots} & \color{red}{c_n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{c_1} & \color{red}{\dots} & \color{red}{c_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{c_1} & \color{red}{\dots} & \color{red}{c_n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
したがって、
$$ 2\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ c_1 & \dots & c_n \\ \vdots & & \vdots \\ c_1 & \dots & c_n \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=0 $$
であるので、
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ c_1 & \dots & c_n \\ \vdots & & \vdots \\ c_1 & \dots & c_n \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=0 $$
行列の1つの行に任意の数をかけて他の行に加えた行列の行列式は、もとの行列の行列式と等しい。つまり、
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{a_{i1}} & \color{red}{\dots} & \color{red}{a_{in}} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{blue}{a_{j1}} & \color{blue}{\dots} & \color{blue}{a_{jn}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{a_{i1}}+k\color{blue}{a_{j1}} & \dots & \color{red}{a_{in}}+k\color{blue}{a_{jn}} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{blue}{a_{j1}} & \color{blue}{\dots} & \color{blue}{a_{jn}} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
定理5の証明(気になる方だけクリックしてください)
3次正方行列で示します。つまり、次を示します。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{red}{a_{21}} & \color{red}{a_{22}} & \color{red}{a_{23}} \\ \color{blue}{a_{31}} & \color{blue}{a_{32}} & \color{blue}{a_{33}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{red}{a_{21}}+k\color{blue}{a_{31}} & \color{red}{a_{22}}+k\color{blue}{a_{32}} & \color{red}{a_{23}}+k\color{blue}{a_{33}} \\ \color{blue}{a_{31}} & \color{blue}{a_{32}} & \color{blue}{a_{33}} \end{vmatrix} $$
右辺をいままでの定理を用いることにより、
$$ \begin{align} &\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+ka_{31} & a_{22}+ka_{32} & a_{23}+ka_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ka_{31} & ka_{32} & ka_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \quad (定理1(1)より) \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+k\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \quad (定理1(2)より) \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+k\cdot 0 \quad (定理4より) \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \end{align} $$
行列式の性質のまとめ(3次正方行列)
ここまで見たきました行列式の性質について、わかりやすく3次正方行列の場合に限定してまとめておきます。
また、上では行に関する性質のも述べましたが、列に関しても同様の性質が成り立ちますので、それについてもまとめておきます。
(L1) $$ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1+d_1 & b_2+d_2 & b_3+d_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} $$
(L2) $$ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ kb_1 & kb_2 & kb_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} $$
(L3) $$ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} c_1 & c_2 & c_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} $$
(L4) $$ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}=0 $$
(L5) $$ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1+kc_1 & a_2+kc_2 & a_3+kc_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} $$
(R1) $$ \begin{vmatrix} a_1+d_1 & b_1 & c_1 \\ a_2+d_2 & b_2 & c_2 \\ a_3+d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1 \\ d_2 & b_2 & c_2 \\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} $$
(R2) $$ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & kc_1 \\ a_2 & b_2 & kc_2 \\ a_3 & b_3 & kc_3 \end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} $$
(R3) $$ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} b_1 & a_1 & c_1 \\ b_2 & a_2 & c_2 \\ b_3 & a_3 & c_3 \end{vmatrix} $$
(R4) $$ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & a_1 \\ a_2 & b_2 & a_2 \\ a_3 & b_3 & a_3 \end{vmatrix}=0 $$
(R5) $$ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1+kb_1 \\ a_2 & b_2 & c_2+kb_2 \\ a_3 & b_3 & c_3+kb_3 \end{vmatrix} $$
上でつけた番号 \( (L1)-(L5) \) と \( (R1)-(R5) \) は今後も使っていきます。
行列式の性質を用いた行列式の計算の例
ここまで紹介してきました行列式の性質を用いて、実際に行列式を工夫して求めてみましょう。
\( \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 1 & 7 \\ 0 & 4 & -5 \end{vmatrix} \) を求める。
\( \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ \color{blue}{-2} & 1 & 7 \\ 0 & 4 & -5 \end{vmatrix} \) において、 \( \color{blue}{-2} \) を \( 0 \) にすることを考える。
(L5) で第2行に第1行の2倍を加えると、(これを今後 (L5) ②+①×2 と表す)
$$ \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2 & 1 & 7 \\ 0 & 4 & -5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -2+1\times 2 & 1+(-2)\times 2 & 7+3\times 2 \\ 0 & 4 & -5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -3 & 13 \\ 0 & 4 & -5 \end{vmatrix} $$
よって、第1列で展開すると、
$$ \begin{align} \begin{vmatrix} \color{red}{1} & -2 & 3 \\ \color{red}{0} & -3 & 13 \\ \color{red}{0} & 4 & -5 \end{vmatrix}&=1\times \widetilde{1}+0\times \widetilde{0}+0\times \widetilde{0} \qquad (\text{ここで}\widetilde{1}\text{は}1\text{の余因子である}) \\ &=\widetilde{1}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} -3 & 13 \\ 4 & -5 \end{vmatrix} \qquad (1\text{は}(1,1)\text{成分であることに注意}) \\ &=15-52=-37 \end{align} $$
\( \begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 \\ -1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} \) を求める。
\( \begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 \\ -1 & 3 & 3 \\ \color{blue}{2} & 1 & 0 \end{vmatrix} \) において、 \( \color{blue}{2} \) を \( 0 \) にすることを考える。
(R5) で第1列に第2行の(-2)倍を加えると、(これを今後 (R5) ①+②×(-2) と表す)
$$ \begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 \\ -1 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3+(-2)\times(-2) & -2 & -5 \\ -1+3\times(-2) & 3 & 3 \\ 2+1\times(-2) & 1 & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 7 & -2 & -5 \\ -7 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} $$
よって、第3行で展開すると、
$$ \begin{align} \begin{vmatrix} 7 & -2 & -5 \\ -7 & 3 & 3 \\ \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{0} \end{vmatrix}&=0\times \widetilde{0}+1\times \widetilde{1}+0\times \widetilde{0} \\ &=\widetilde{1}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 7 & -5 \\ -7 & 3 \end{vmatrix} \qquad (1\text{は}(3,2)\text{成分}) \\ &=-(21-35)=14 \end{align} $$
\( \begin{vmatrix} 2 & -4 & 6 \\ -3 & 3 & 9 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix} \) を求める。
まず、(L2)を第1行と第2行に用いると、
$$ \begin{align} \begin{vmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{-4} & \color{red}{6} \\ -3 & 3 & 9 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix}&=2\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ \color{red}{-3} & \color{red}{3} & \color{red}{9} \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix}=6\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix} \end{align} $$
はじめに、\( 6\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ \color{blue}{-1} & 1 & 3 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix} \) において、 \( \color{blue}{-1} \) を \( 0 \) にすることを考える。
(L5) ②+①×1 を行うと、
$$ 6\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix}=6\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ -1+1\times1 & 1+(-2)\times1 & 3+3\times1 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix}=6\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 6 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix} $$
次に、\( 6\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 6 \\ \color{blue}{5} & 2 & -2 \end{vmatrix} \) において、 \( \color{blue}{5} \) を \( 0 \) にすることを考える。
(L5) ③+①×(-5) を行うと、
$$ 6\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 6 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix}=6\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 6 \\ 5+1\times(-5) & 2+(-2)\times(-5) & -2+3\times(-5) \end{vmatrix}=6\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 6 \\ 0 & 12 & -17 \end{vmatrix} $$
よって、第1列で展開すると、
$$ \begin{align} 6\begin{vmatrix} \color{red}{1} & -2 & 3 \\ \color{red}{0} & -1 & 6 \\ \color{red}{0} & 12 & -17 \end{vmatrix}&=6(1\times \widetilde{1}+0\times \widetilde{0}+0\times \widetilde{0}) \\ &=6\times\widetilde{1}=6\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} -1 & 6 \\ 12 & -17 \end{vmatrix} \quad (1\text{は}(1,1)\text{成分}) \\ &=6(17-72)=-330 \end{align} $$
\( \begin{vmatrix} 0 & 5 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 5 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & -1 \end{vmatrix} \) を求める。
\( \begin{vmatrix} 0 & 5 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 5 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \color{blue}{3} & \color{blue}{-1} \end{vmatrix} \) において、 \( \color{blue}{3},\color{blue}{-1} \) を \( 0 \) にすることを考える。
(R5) ③+①×(-3) と (R5) ④+①×1 を行うと、
$$ \begin{vmatrix} 0 & 5 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 5 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 3 & -1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 2+0\times(-3) & 3+0\times1 \\ 3 & 4 & 1+3\times(-3) & 2+3\times1 \\ 5 & -3 & 1+5\times(-3) & 1+5\times1 \\ 1 & 0 & 3+1\times(-3) & -1+1\times1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & -8 & 5 \\ 5 & -3 & -14 & 6 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} $$
よって、第4行で展開すると、
$$ \begin{align} \begin{vmatrix} 0 & 5 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & -8 & 5 \\ 5 & -3 & -14 & 6 \\ \color{red}{1} & \color{red}{0} & \color{red}{0} & \color{red}{0} \end{vmatrix}&=1\times \widetilde{1}+0\times \widetilde{0}+0\times \widetilde{0}+0\times \widetilde{0} \\ &=\widetilde{1}=(-1)^{4+1}\begin{vmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 4 & -8 & 5 \\ -3 & -14 & 6 \end{vmatrix} \quad (1\text{は}(4,1)\text{成分}) \end{align} $$
(R2)を第2列に用いると、
$$ \begin{align} (-1)^{4+1}\begin{vmatrix} 5 & \color{red}{2} & 3 \\ 4 & \color{red}{-8} & 5 \\ -3 & \color{red}{-14} & 6 \end{vmatrix}&=-2\begin{vmatrix} 5 & 1 & 3 \\ 4 & -4 & 5 \\ -3 & -7 & 6 \end{vmatrix} \end{align} $$
\( -2\begin{vmatrix} \color{blue}{5} & 1 & \color{blue}{3} \\ 4 & -4 & 5 \\ -3 & -7 & 6 \end{vmatrix} \) において、 \( \color{blue}{5},\color{blue}{3} \) を \( 0 \) にすることを考える。
(R5) ①+②×(-5) と (R5) ③+②×(-3) を行うと、
$$ -2\begin{vmatrix} 5 & 1 & 3 \\ 4 & -4 & 5 \\ -3 & -7 & 6 \end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix} 5+1\times(-5) & 1 & 3+1\times(-3) \\ 4+(-4)\times(-5) & -4 & 5+(-4)\times(-3) \\ -3+(-7)\times(-5) & -7 & 6+(-7)\times(-3) \end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 24 & -4 & 17 \\ 32 & -7 & 27 \end{vmatrix} $$
よって、第1行で展開すると、
$$ \begin{align} -2\begin{vmatrix} \color{red}{0} & \color{red}{1} & \color{red}{0} \\ 24 & -4 & 17 \\ 32 & -7 & 27 \end{vmatrix}&=-2(0\times \widetilde{0}+1\times \widetilde{1}+0\times \widetilde{0}) \\ &=-2\times\widetilde{1}=-2\cdot(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 24 & 17 \\ 32 & 27 \end{vmatrix} \quad (1\text{は}(1,2)\text{成分}) \\ &=2(24\times27-17\times32)=208 \end{align} $$
今回はここまでです。お疲れ様でした。また次回にお会いしましょう。