線形代数学04：行列の演算(和・スカラー倍・積)

2023年3月12日2024年3月25日

こんにちは、ひかりです。

今回は線形代数学から行列の和・スカラー倍・積について解説していきます。

行列の定義について知りたい方は、前回の記事をご覧ください。

線形代数学03：行列の定義と特別な行列の名称

この記事では以下のことを紹介します。

行列の和とスカラー倍について
行列の和とスカラー倍に関する性質
行列の積について
行列の積に関する性質
行列の演算と転置の関係について

行列の和とスカラー倍

ベクトルと同じようにして行列に対しても和とスカラー倍を次のように定義します。

定義1 (行列の和とスカラー倍)

2つの $ m\times n $ 行列

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix} $$

と実数 $ k $ に対して、和とスカラー倍を次で定める。

$$ \text{和：} \quad A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix} $$

$$ \text{スカラー倍：} \quad kA=\begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \dots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \dots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \dots & ka_{mn} \end{pmatrix} $$

例1

$ A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 2 \end{pmatrix} $ とすると、

$$ A+B=\begin{pmatrix} 1+2 & 3+1 & 2+4 \\ 2+0 & 1+1 & 1+0 \\ 4+3 & 1+2 & 0+2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 4 & 6 \\ 2 & 2 & 1 \\ 7 & 3 & 2 \end{pmatrix} $$

$$ 3A=\begin{pmatrix} 3\times 1 & 3\times 3 & 3\times 2 \\ 3\times 2 & 3\times 1 & 3\times 1 \\ 3\times 4 & 3\times 1 & 3\times 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 9 & 6 \\ 6 & 3 & 3 \\ 12 & 3 & 0 \end{pmatrix} $$

行列の和とスカラー倍に関する性質

定理1 (行列の和とスカラー倍に関する性質)

$ A,B,C $ を $ m\times n$ 行列、 $ O $ を $ m\times n $ ゼロ行列、 $ k,h $ を実数とすると、次が成り立つ。

(1)　$ (A+B)+C=A+(B+C) $

(2)　$ A+B=B+A $

(3)　$ A+O=O+A=A $

(4)　$ (-A)+A=A+(-A)=O $

(5)　$ k(A+B)=kA+kB $

(6)　$ (k+h)A=kA+hA $

(7)　$ (kh)A=k(hA) $

(8)　$ 1A=A $

定理1の証明(気になる方だけクリックしてください)

(2)と(6)を示します。

(2)　$ A,B $ を次のようにおきます。

このとき、

$$ \begin{align} A+B&=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} b_{11}+a_{11} & b_{12}+a_{12} & \dots & b_{1n}+a_{1n} \\ b_{21}+a_{21} & b_{22}+a_{22} & \dots & b_{2n}+a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1}+a_{m1} & b_{m2}+a_{m2} & \dots & b_{mn}+a_{mn} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \\ &=B+A \end{align} $$

(6)　$$ \begin{align} (k+h)A&=(k+h)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} (k+h)a_{11} & (k+h)a_{12} & \dots & (k+h)a_{1n} \\ (k+h)a_{21} & (k+h)a_{22} & \dots & (k+h)a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (k+h)a_{m1} & (k+h)a_{m2} & \dots & (k+h)a_{mn} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} ka_{11}+ha_{11} & ka_{12}+ha_{12} & \dots & ka_{1n}+ha_{1n} \\ ka_{21}+ha_{21} & ka_{22}+ha_{22} & \dots & ka_{2n}+ha_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1}+ha_{m1} & ka_{m2}+ha_{m2} & \dots & ka_{mn}+ha_{mn} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \dots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \dots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \dots & ka_{mn} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} ha_{11} & ha_{12} & \dots & ha_{1n} \\ ha_{21} & ha_{22} & \dots & ha_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ha_{m1} & ha_{m2} & \dots & ha_{mn} \end{pmatrix} \\ &=k\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}+h\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \\ &=kA+hA \end{align} $$

行列の積

行列に対しても積を定義することができます。

ただし、和とスカラー倍よりも定義が複雑なのでしっかりと抑えていきましょう。

定義2 (行列の積)

$ \ell\times m $ 行列

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{\ell 1} & a_{\ell 2} & \dots & a_{\ell m} \end{pmatrix} $$

と $ m\times n $ 行列

$$ B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix} $$

に対して、積 $ AB $ を次で定める。

$$ \text{積：} \quad AB=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{\ell 1} & c_{\ell 2} & \dots & c_{\ell n} \end{pmatrix} \quad \text{(これは} \ \ell\times n \ \text{行列となる)} $$

ここで、 $ c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots +a_{im}b_{mj} \quad $ $ (i=1,2,\dots,\ell, \ j=1,2,\dots,n) $

行列 $ A $ の列の数と行列 $ B $ の行の数が同じでないと積 $ AB $ は定義できないことに注意してください。

例2

$ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $ とすると、

$$ \begin{align} AB&=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\times(-1)+2\times 2+4\times 0 & 1\times 1+2\times 0+4\times 3 \\ 0\times(-1)+3\times 2+1\times 0 & 0\times 1+3\times 0+1\times 3 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 3 & 13 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} \end{align} $$

行列の積に関する性質

定理2 (行列の積に関する性質)

それぞれの行列の積が定義されているとき、次が成り立つ。

(1)　$ AE=A, \ EA=A \quad $ ( $ E $ ：単位行列)

(2)　$ (AB)C=A(BC) $

(3)　$ A(B+C)=AB+AC $

(4)　$ (A+B)C=AC+BC $

定理2の証明(気になる方だけクリックしてください)

(1)と(3)を示します。

(1)　単位行列は正方行列なので、 $ A,E $ をそれぞれ $ n\times n $ 行列とします。つまり、

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}, E=\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} $$

このとき、

$$ \begin{align} AE&=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nn} \end{pmatrix} \end{align} $$

ここで、 $ AE $ の $ (i,j) $ 成分 $ c_{ij} $ を考えると、

$$ c_{ij}=a_{i1}\times 0+a_{i2}\times 0+\dots+a_{ij}\times 1+\dots+a_{im}\times 0=a_{ij} $$

よって、 $ AE=A $ となります。

(3)　$ A $ を $ \ell\times m $ 行列、 $ B,C $ を $ m\times n $ 行列とします。つまり、

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{\ell 1} & a_{\ell 2} & \dots & a_{\ell m} \end{pmatrix}, \ B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix}, \ C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \dots & c_{mn} \end{pmatrix} $$

このとき、

$$ \begin{align} AB&=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{\ell 1} & a_{\ell 2} & \dots & a_{\ell m} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} & \dots & d_{1n} \\ d_{21} & d_{22} & \dots & d_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{\ell 1} & d_{\ell 2} & \dots & d_{\ell n} \end{pmatrix} \end{align} $$

ここで、 $ d_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots +a_{im}b_{mj} $

また、

$$ \begin{align} AC&=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{\ell 1} & a_{\ell 2} & \dots & a_{\ell m} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \dots & c_{mn} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & \dots & e_{1n} \\ e_{21} & e_{22} & \dots & e_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e_{\ell 1} & e_{\ell 2} & \dots & e_{\ell n} \end{pmatrix} \end{align} $$

ここで、 $ e_{ij}=a_{i1}c_{1j}+a_{i2}c_{2j}+\dots +a_{im}c_{mj} $

一方で、

$$ \begin{align} A(B+C)&=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{\ell 1} & a_{\ell 2} & \dots & a_{\ell m} \end{pmatrix}\left(\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{m1} & c_{m2} & \dots & c_{mn} \end{pmatrix}\right) \\ &=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{\ell 1} & a_{\ell 2} & \dots & a_{\ell m} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11}+c_{11} & b_{12}+c_{12} & \dots & b_{1n}+c_{1n} \\ b_{21}+c_{21} & b_{22}+c_{22} & \dots & b_{2n}+c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1}+c_{m1} & b_{m2}+c_{m2} & \dots & b_{mn}+c_{mn} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} f_{11} & f_{12} & \dots & f_{1n} \\ f_{21} & f_{22} & \dots & f_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{\ell 1} & f_{\ell 2} & \dots & f_{\ell n} \end{pmatrix} \end{align} $$

ここで、 $ A(B+C) $ の $ (i,j) $ 成分 $ f_{ij} $ を考えると、

$$ \begin{align} f_{ij}&=a_{i1}(b_{1j}+c_{1j})+a_{i2}(b_{2j}+c_{2j})+\dots +a_{im}(b_{mj}+c_{mj}) \\ &=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots +a_{im}b_{mj} \\ &\quad +a_{i1}c_{1j}+a_{i2}c_{2j}+\dots +a_{im}c_{mj} \\ &=d_{ij}+e_{ij} \end{align} $$

したがって、

$$ \begin{align} A(B+C)&=\begin{pmatrix} d_{11}+e_{11} & d_{12}+e_{12} & \dots & d_{1n}+e_{1n} \\ d_{21}+e_{21} & d_{22}+e_{22} & \dots & d_{2n}+e_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{\ell 1}+e_{\ell 1} & d_{\ell 2}+e_{\ell 2} & \dots & d_{\ell n}+e_{\ell n} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} & \dots & d_{1n} \\ d_{21} & d_{22} & \dots & d_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{\ell 1} & d_{\ell 2} & \dots & d_{\ell n} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & \dots & e_{1n} \\ e_{21} & e_{22} & \dots & e_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e_{\ell 1} & e_{\ell 2} & \dots & e_{\ell n} \end{pmatrix} \\ &=AB+AC \end{align} $$

ただし、実数とは異なる性質もあるので注意してください。

$ A\not= O, \ B\not= O $ であっても $ AB=O $ となる場合があります。

一般的に $ AB=BA $ は成り立ちません。

例3

(1)　$ A=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ のとき、

$$ \begin{align} AB&=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\times 1+0\times 0 & 0\times 0+0\times 0 \\ 0\times 1+1\times 0 & 0\times 0+1\times 0 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align} $$

よって、 $ A\not= O, \ B\not= O $ であるが、 $ AB=O $ となる。

(2)　$ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \ B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ のとき、

$$ \begin{align} AB&=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\times 0+1\times 0 & 0\times 1+1\times 0 \\ 1\times 0+0\times 0 & 1\times 1+0\times 0 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align} $$

$$ \begin{align} BA&=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\times 0+1\times 1 & 0\times 1+1\times 0 \\ 0\times 0+0\times 1 & 0\times 1+0\times 0 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{align} $$

よって、 $ AB=BA $ ではない。

行列の演算と転置

前回、行列 $ A $ の転置行列 $ {}^tA $ というものを紹介しました。

ここでは、今回解説した行列の演算と転置との性質について紹介します。

定理3 (行列の演算と転置との性質)

行列 $ A, B $ と実数 $ k $ に対して、次が成り立つ。

(1)　$ {}^t(A+B)={}^tA+{}^tB $　($ A+B $ の転置行列は $ A $ の転置行列と $ B $ の転置行列の和となる)

(2)　$ {}^t(kA)=k \ {}^tA $　($ kA $ の転置行列は $ k $ と $ A $ の転置行列のスカラー倍となる)

(3)　$ {}^t(AB)={}^tB \ {}^tA $　($ AB $ の転置行列は $ B $ の転置行列と $ A $ の転置行列の積となる)

(4)　$ {}^t({}^tA)=A $　($ A $ の転置行列の転置行列はもとの $ A $ と等しい)

(3)は $ {}^tA \ {}^tB $ ではないことに注意してください。( $ {}^tA \ {}^tB $ では積が定義できません)

定理3の証明(気になる方だけクリックしてください)

(1)と(3)と(4)を示します。

(1)　$ A,B $ を次のようにおきます。

このとき、

$$ A+B=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \dots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix} $$

よって、

$$ \begin{align} {}^t(A+B)&=\begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{21}+b_{21} & \dots & a_{m1}+b_{m1} \\ a_{12}+b_{12} & a_{22}+b_{22} & \dots & a_{m2}+b_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n}+b_{1n} & a_{2n}+b_{2n} & \dots & a_{mn}+b_{mn} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} b_{11} & b_{21} & \dots & b_{m1} \\ b_{12} & b_{22} & \dots & b_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1n} & b_{2n} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix} \\ &={}^tA+{}^tB \end{align} $$

(3)　$ A,B $ を次のようにおきます。

このとき、

$$ \begin{align} AB&=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{\ell 1} & a_{\ell 2} & \dots & a_{\ell m} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{\ell 1} & c_{\ell 2} & \dots & c_{\ell n} \end{pmatrix} \end{align} $$

ここで、 $ c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots +a_{im}b_{mj} $

よって、

$$ {}^t(AB)=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{21} & \dots & c_{\ell 1} \\ c_{12} & c_{22} & \dots & c_{\ell 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{1n} & c_{2n} & \dots & c_{\ell n} \end{pmatrix} $$

一方で、

$$ {}^tA=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{\ell 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{\ell 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1m} & a_{2m} & \dots & a_{\ell m} \end{pmatrix}, \ {}^tB=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{21} & \dots & b_{m1} \\ b_{12} & b_{22} & \dots & b_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1n} & b_{2n} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix} $$

であるので、

$$ \begin{align} {}^tB \ {}^tA&=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{21} & \dots & b_{m1} \\ b_{12} & b_{22} & \dots & b_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{1n} & b_{2n} & \dots & b_{mn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{\ell 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{\ell 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1m} & a_{2m} & \dots & a_{\ell m} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} d_{11} & d_{12} & \dots & d_{1n} \\ d_{21} & d_{22} & \dots & d_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{\ell 1} & d_{\ell 2} & \dots & d_{\ell n} \end{pmatrix} \end{align} $$

ここで、 $ {}^tB \ {}^tA $ の $ (i,j) $ 成分 $ d_{ij} $ を考えると、

$$ \begin{align} d_{ij}&=b_{1i}a_{ij}+b_{2i}a_{j2}+\dots +b_{mi}a_{jm} \\ &=a_{j1}b_{1i}+a_{j2}b_{2i}+\dots +a_{jm}b_{mi}=c_{ji} \end{align} $$

$ c_{ji} $ は $ {}^t(AB) $ の $ (i,j) $ 成分であることに注意すると、

$$ {}^t(AB)= {}^tB \ {}^tA $$

(4)　$ A $ を次のようにおきます。

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{pmatrix} $$

このとき、 $ {}^tA $ は次のようになります。

$$ {}^tA=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} $$

よって、 $ {}^t({}^tA) $ は

$$ \begin{align} {}^t({}^tA)&={}^t\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m 1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{pmatrix}=A \end{align} $$

となり、 $ {}^t({}^tA)=A $ となります。

最後に一つだけ転置行列に関する行列を紹介して終わりにしたいと思います。

定義3 (直交行列)

正方行列 $ A $ が $ A{}^tA={}^tAA=E $ をみたすとき、 $ A $ を直交行列といいます。

例4

$ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ とすると、 $ {}^tA=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ なので、

$$ A{}^tA=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=E $$

$$ {}^tAA=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=E $$

よって、 $ A $ は直交行列である。

今回はここまでです。お疲れ様でした。また次回にお会いしましょう。

線形代数学05：正則行列と逆行列

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