こんにちは、ひかりです。
この「線形代数学」シリーズでは、線形代数学を初めて勉強する方や苦手意識がある方向けに線形代数学の基礎的な知識をひと通り紹介しています。
線形代数学とは何か
そもそも「線形代数学」とはどういう数学の分野なのでしょうか。
それは名前のとおり「線形性」というものについて考える数学となっています。
「線形性」とはかなり大雑把にいうと原点を通る直線がもつ性質になります。
例えば、一次関数 \( f(x)=2x \) は線形性をもっているということになります。
この関数は次の2つの性質を満たします。
$$ f(x_1+x_2)=2(x_1+x_2)=2x_1+2x_2=f(x_1)+f(x_2) $$
$$ f(kx)=2(kx)=k(2x)=kf(x) $$
この2つの性質は数学のさまざまな分野において出てくる非常に重要な性質となります。
(例として、和のシグマ記号、極限、微分、積分、期待値などが線形性をもちます)
ベクトルについて
- 線形代数学01：ベクトルとその演算(和とスカラー倍)
線形代数学02：ベクトルの長さと内積・外積 -
まず、初めに「線形性」をもつ例の1つであるベクトルについて解説しています。
このベクトルの性質というものは、「線形性」の核となるもので「ベクトル空間(線形空間)」といわれる線形代数学における重要な話につながっていくのですが、「ベクトル空間(線形空間)」については「線形代数学続論」シリーズにて解説しています。
記事については以下のリンクからご覧ください。
行列について
- 線形代数学03：行列の定義と特別な行列の名称
線形代数学04：行列の演算(和・スカラー倍・積) -
次に「行列」というものを定義します。
「行列」を導入する理由はいくつかありますが、その一つとしてこのシリーズでは行列を用いて連立一次方程式を解くということを目標にしています。
記事については以下のリンクからご覧ください。
正則行列と逆行列について
- 線形代数学05：正則行列と逆行列
線形代数学06：複素行列 -
ここでは、連立一次方程式を解く際に重要となる正則行列と逆行列について解説しています。
また、物理学における量子力学など応用上では行列の係数は複素数であることが多いですのでここで解説しています。
記事については以下のリンクからご覧ください。
行列式について
- 線形代数学07：行列式の定義
線形代数学08：行列式の性質
線形代数学09：逆行列の求め方 -
では、その逆行列はどのようにして求めたらいいのでしょうか。
そのために必要となるのが行列式といわれるものとなります。
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連立一次方程式の解法について
- 線形代数学10：クラーメルの公式と掃き出し法
線形代数学11：行列の階数と同次連立一次方程式の解法
線形代数学12：非同次連立一次方程式の解法 -
いよいよ連立一次方程式を行列を用いて解くことを考えていきます。
いままで準備してきた知識がふんだんに使われているため、少し難しい内容となっていますが、頑張っていきましょう.
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一次変換と行列の対角化について
- 線形代数学13：行列と一次変換
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ここでは話を少し変えて一次変換というものを解説しています。
これは行列によって点を対称移動や回転移動させることをいい、2D・3Dモデルやゲームなどさまざまな場所に応用されています。
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- 線形代数学14：ケーリー・ハミルトンの定理と行列のn乗
線形代数学15：固有値と固有ベクトルおよび行列の対角化 -
最後に、行列の対角化について解説しています。
これは与えられた行列を対角行列に変換するものであり、対角行列にすることで行列のn乗の計算が非常に簡単に求まるなどの利点があります。
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線形代数学の参考書のおすすめ
最後に、さらなる線形代数学の知識を知りたい方向けに線形代数学の参考書を紹介しています。
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