高校数学(数学Ⅲ)02：指数関数・対数関数

2023年5月14日2024年3月25日

こんにちは、ひかりです。

今回は高校数学から指数関数・対数関数について解説していきます。

この記事では以下のことを紹介します。

指数法則と指数関数について
対数の性質と対数関数について

指数関数

指数法則

$ a\not=0 $ とします。このとき、 $ a $ を $ n $ 個かけ合わせたものを $ a $ の $ n $ 乗といい、 $ a^n $ と表します。

また、 $ a $ をいくつか掛けたものを $ a $ の累乗といいます。

このとき、正の整数 $ m,n $ に対して、次の指数法則が成り立ちます。

定理1 (指数法則)

(i)　$ a^ma^n=a^{m+n} $

(ii)　$ (a^m)^n=a^{mn} $

(iii)　$ (ab)^n=a^nb^n $

$ a^n $ の定義を $ n $ が $ 0 $ や負の整数に対しても拡張することを考えます。

そこで、次の図のように $ a $ を一つずつ掛けたり、割ったりしてみます。

これにより、指数が $ 0 $ または負の整数のときの累乗を次で定めることができます。

定理2 (0または負の整数に対する累乗)

$ a\not=0 $ で $ n $ が正の整数のとき、

$$ a^0=1, \quad a^{-n}=\frac{1}{a^n} $$

例１

(1)　$ 3^0=1 $

(2)　$ 2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} $

これにより、 $ m,n $ ：整数に対して、定理1の指数法則が成り立ちます。

例2

(1)　指数法則(i)について

$$ a^3a^{-2}=a^3\times \frac{1}{a^2}=a=a^{3+(-2)} $$

(2)　指数法則(ii)について

$$ (a^3)^{-2}=\frac{1}{(a^3)^2}=\frac{1}{a^6}=a^{-6}=a^{3\times(-2)} $$

(3)　指数法則(iii)について

$$ (ab)^{-2}=\frac{1}{(ab)^2}=\frac{1}{a^2b^2}=\frac{1}{a^2}\times \frac{1}{b^2}=a^{-2}b^{-2} $$

次に、指数を有理数に拡張していきます。

ここで、 $ n $ 乗して $ a $ になる数、すなわち $ x^n=a $ となる $ x $ を $ a $ の $ n $ 乗根といいます。

また、1乗根、2乗根、… を総称して累乗根といいます。

例3

(1)　$ (-2)^3=-8 $ より、 $ -2 $ は $ -8 $ の $ 3 $ 乗根である。これを $ \sqrt[3]{-8}=-2 $ と表す。

(2)　$ (-2)^4=16, \ 2^4=16 $ より、 $ -2, \ 2 $ は $ 16 $ の $ 4 $ 乗根である。これを $ \sqrt[4]{16}=2, \ -\sqrt[4]{16}=-2 $ と表す。

累乗根の性質として、以下が成り立ちます。

定理3 (累乗根の性質)

$ a>0, \ b>0 $ で $ m,n,p $：正の整数のとき、次が成り立つ。

(i)　$ \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} $

(ii)　$ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}} $

(iii)　$ (\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m} $

(iv)　$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a} $

(v)　$ \sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m} $

これにより、有理数の指数を次のように定めます。

定義1 (有理数の指数)

$ a>0 $ 、 $ m $ ：整数、 $ n $ ：正の整数に対して、有理数の指数の累乗を次で定める。

$$ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} $$

例4

(1)　$ 8^{\frac{2}{3}} $ を計算する。

$$ 8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4 $$

(2)　$ 8^{-\frac{2}{3}} $ を計算する。

$$ 8^{-\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^{-2}}=\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4^3}}=\frac{1}{4} $$

この定義により、指数が有理数に対しても定理1の指数法則が成り立ちます。

例5

(1)　指数法則(i)について

$$ a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a^2}\times\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a^2\times a}=\sqrt[3]{a^{2+1}}=a^{\frac{2+1}{3}}=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} $$

(2)　指数法則(ii)について

$$ (a^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{3}}=(\sqrt[3]{a^2})^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\sqrt[3]{a^2}}=\sqrt[3\times 3]{a^2}=a^{\frac{2}{3\times3}}=a^{\frac{2}{3}\times \frac{1}{3}} $$

(3)　指数法則(iii)について

$$ (ab)^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{(ab)^2}=\sqrt[3]{a^2b^2}=\sqrt[3]{a^2}\times\sqrt[3]{b^2}=a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} $$

指数 $ p $ が無理数のときも次の例のように累乗 $ a^p $ が定義できます。

例6

$ \sqrt{2}=1.41421\cdots $ に対して、列

$$ 3^1, \ 3^{1.4}, \ 3^{1.41}, \ 3^{1.414}, \ 3^{1.4142}, \ 3^{1.41421}, \cdots $$

を考えると、ある値に近づいていく。

その値を $ 3^{\sqrt{2}} $ と定める。

指数関数とそのグラフ

$ a>0 $ に対して、 $ y=a^x $ は次のようなグラフとなります。

$ y=a^x $ のグラフと $ y=\left( \frac{1}{a} \right)^x $ のグラフは $ y $ 軸に関して対称となります。

例7

$ y=2^x $ と $ y=\left( \frac{1}{2} \right)^x $ のグラフを考える。

これらは $ y $ 軸に関して対称であることが図よりわかる。

対数関数

対数とその性質

$ a>0, \ a\not=1 $ とすると、指数関数 $ y=a^x $ のグラフより、任意の正の実数 $ M $ に対して、 $ a^p=M $ となる実数 $ p $ がただ一つ定まります。

この $ p $ を $ \log_aM $ と表して、 $ a $ を底とする $ M $ の対数といいます。

また、 $ M $ を $ \log_aM $ の真数といいます。

つまり、指数と対数の関係は次のようになります。

定義2 (指数と対数の関係)

$ a>0, \ a\not=1, \ M>0 $ のとき、

$$ \log_aM=p \Longleftrightarrow a^p=M $$

例8

(1)　$ 2^3=8 $ より、 $ \log_28=3 $

(2)　$ \log_3x=-2 $ をみたす $ x $ は $ x=3^{-2}=\frac{1}{9} $

(3)　$ \log_84 $ を求める。 $ \log_84=x $ とおくと、 $ 8^x=4 $ となる。

$ 8^x=(2^3)^x=2^{3x}, \ 4=2^2 $ より、 $ 2^{3x}=2^2 $

よって、 $ 3x=2 $ より、 $ \log_84=x=\frac{2}{3} $

対数に関して、次のような性質が成り立ちます。

定理4 (対数の性質)

$ a>0, \ a\not=1, \ M>0, \ N>0 $ に対して、

$$ \log_a1=0, \ \log_aa=1, \ \log_aa^p=p $$

また、指数法則より、次が成り立つ。

(i)　$ \log_aMN=\log_aM+\log_aN $

(ii)　$ \log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN $

(iii)　$ \log_aM^r=r\log_aM $

例9

(1)　$ \log_2\frac{4}{3}+\log_224 $ を計算する。

$$ \begin{align} \log_2\frac{4}{3}+\log_224&=\log_2\left( \frac{4}{3}\times 24 \right) \\ &=\log_232=\log_22^5=5 \end{align} $$

(2)　$ 6\log_3\sqrt{6}-\log_28 $ を計算する。

$$ \begin{align} 6\log_3\sqrt{6}-\log_28 &=\log_3(6^{\frac{1}{2}})^6-\log_32^3 \\ &=\log_36^3-\log_32^3 \\ &=\log_3\frac{6^3}{2^3}=\log_33^3=3 \end{align} $$

対数の底を変えたいときに有用な底の変換公式について紹介する。

定数5 (底の変換公式)

$ a,b,c>0 $ で $ a\not=1, \ c\not=1 $ のとき、次が成り立つ。

$$ \log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca} $$

例10

$$ \log_{27}9=\frac{\log_39}{\log_327}=\frac{\log_33^2}{\log_33^3}=\frac{2\log_33}{3\log_33}=\frac{2}{3} $$