こんにちは、ひかりです。
この「微分方程式」シリーズでは、微分方程式を初めて勉強する方や苦手意識がある方向けに微分方程式の基礎的な知識をひと通り紹介しています。
微分方程式とは
微分方程式とは名前の通り、方程式の中に関数の微分が含まれているものとなります。
大きな違いとしては、通常の方程式、たとえば
$$ x^2+x-2=0 $$
であれば、解は \( x=1,-2 \) のようにスカラーで与えられますが、一方で微分方程式、たとえば
$$ y'(x)=y(x) $$
であれば、解は
$$ y(x)=Ce^x, \quad (C:任意定数) $$
のように関数で与えられることになります。
また、微分方程式を解くには微分や積分の知識が必要となり、普通の方程式に比べて難しい内容になっています。
しかし、微分方程式は物理学を始めとして、さまざまな学問において用いられている現代科学においてなくてはならないものとなっていますので、しっかりと理解していきましょう。
微分方程式の求積法について
- 微分方程式01：求積法1(変数分離形・同次形)
- 微分方程式02：求積法2(変数分離形や同次形に帰着できる形)
微分方程式03：求積法3(1階線形微分方程式・ベルヌーイの微分方程式)
微分方程式04：求積法4(リッカチの微分方程式・完全微分方程式)
微分方程式05：求積法5(クレローの微分方程式・特殊な2階常微分方程式) -
まずは、具体的な微分方程式の解法について紹介しています。
これらの微分方程式はほかの分野においてもよく用いられる基本的なものとなっていますので、しっかりと解けるようにしていきましょう。
記事については以下のリンクからご覧ください。
正規形の微分方程式について
- 微分方程式06：正規形の微分方程式とピカールの逐次近似法
- 微分方程式07：正規形の微分方程式の解の存在と一意性・初期値連続依存性
-
いままでは、具体的な微分方程式の解法を見てきましたが、すべての微分方程式が解が存在するわけでも存在したとしても具体的な形で書けるわけでもありません。
よって、ここでは正規形の微分方程式という一般的な微分方程式に対して解が存在することを理論的に示していきます。
内容としてはかなり難しいものとなっていますので、数学の議論に慣れていない方は飛ばしても問題ありません。
記事については以下のリンクからご覧ください。
変数係数の線形微分方程式について
- 微分方程式08：同次連立1階線形微分方程式の基本解
- 微分方程式09：非同次連立1階線形微分方程式の一般解
微分方程式10：1階および2階の変数係数単独線形微分方程式
微分方程式11：正則点での級数解法とルジャンドルの方程式
微分方程式12：確定特異点での級数解法とベッセルの方程式 -
ここでは、未知関数の係数が \( x \) による関数(つまり定数ではない)場合の線形微分方程式について紹介しています。
微分方程式においてもっとも応用上大事になってくるのが線形微分方程式となります。
その線形微分方程式をいろいろな条件のもとで解を導いていきます。
はじめの2つの記事では何も条件を課さない一般的な状況においてどこまで解の形を得ることができるのかについて見ています。
微分方程式10では、1階および2階の単独微分方程式に限定して、もう少し詳しく解の形を見ています。
最後の2つの記事では、解が初等関数で表せないような線形微分方程式について、無限級数の形で解を求めるということをします。
記事については以下のリンクからご覧ください。
定数係数の線形微分方程式について
- 微分方程式13：定数係数単独線形微分方程式
- 微分方程式14：実係数の2階線形微分方程式
微分方程式15：定数係数連立線形微分方程式 -
最後に、定数係数の線形微分方程式について紹介しています。
この場合は変数係数に比べてより詳しい解の形がわかります。
微分方程式13では定数係数単独線形微分方程式を微分方程式作用素 \( D \) を用いて表現することにより解を求めています。
微分方程式14では工学などでよく用いられる実係数の2階線形微分方程式を扱っています。
微分方程式15では連立系の定数係数線形微分方程式について行列の指数関数を用いて解を求めています。
記事については以下のリンクからご覧ください。