微分積分学10：多変数関数の極大値・極小値

\( f(x) \) が \( x=a \) で極大であるとします。

このとき、 \( f(x) \) を \( x=a \) のある近傍 \( I \) 上に制限して考えると、 \( f(a) \) は最大値となります。

すると、 \( x\in I \) 上で \( f(x)-f(a)≦ 0 \) であるので、 \( \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \) は

$$ \begin{cases} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}≧0 & (x<aのとき) \\ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}≦0 & (x>aのとき) \end{cases} $$

となります。

よって、それぞれ \( x\to a-0, \ x\to a+0 \) とすることにより、 \( f'(a)≧0 \) かつ \( f'(a)≦0 \) となります。

したがって、 \( f'(a)=0 \) となります。極小の場合も同様に示せます。

\( f(x) \) が \( x=a \) において極大となる方の主張を示します。

まず、 \( a-h<x<a \) とします。このとき、 \( f \) に \( [x,a] \) 上で平均値の定理を用いると、

$$ f(a)-f(x)=f'(c)(a-x) \quad (x<c<a) $$

となる \( c \) が存在します。よって、定理の仮定から \( f'(c)>0 \) であるので、

$$ f(a)-f(x)>0 $$

次に、 \( a<x<a+h \) として、 \( f \) に \( [a,x] \) 上で平均値の定理を用いると、

$$ f(x)-f(a)=f'(d)(x-a) \quad (a<d<x) $$

となる \( d \) が存在します。よって、定理の仮定から \( f'(d)<0 \) であるので、

$$ f(x)-f(a)<0 $$

よって、 \( f(x) \) は \( x=a \) において極大となります。

極小の方についても同様に示せます。

\( f^{\prime\prime}(a)>0 \) ならば \( x=a \) で極小となることを示します。

\( y=f(x) \) が \( x=a \) で \( C^2 \) 級より、 \( f^{\prime\prime}(x) \) は連続であるので、 \( x=a \) の十分近くでは \( f^{\prime\prime}(x)>0 \) となります。

\( [a,x] \) または \( [x,a] \) において、 \( f \) にテイラーの定理を用いると、定理の仮定より \( f'(a)=0 \) であるので、

$$ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_2=f(a)+\frac{1}{2!}f^{\prime\prime}(c)(x-a)^2 $$

となる \( c \) が \( a \) と \( x \) の間に存在します。

このとき、

$$ f^{\prime\prime}(c)>0 \ (証明の2文目より), \quad (x-a)^2>0 $$

より、

$$ f(x)-f(a)>0 $$

よって、 \( f(x) \) は \( x=a \) で極小となります。

極大の場合も同様に示せます。

\( f_x(a,b)=f_y(a,b)=0 \) に注意して2変数関数のテイラーの定理を用いると、

$$ \begin{align} f(a+h,b+k)-f(a,b)&=hf_x(a,b)+kf_y(a,b)+R_2=R_2 \\ &=\frac{1}{2}(f_{xx}(c,d)h^2+2f_{xy}(c,d)hk+f_{yy}(c,d)k^2) \end{align} $$

をみたす \( c \) が \( a \) と \( x \) の間に、 \( d \) が \( y \) と \( b \) の間に存在します。

ここで、 \( f_{xx},f_{xy},f_{yy} \) の連続性より、 \( (h,k)\to (0,0) \) とすると、 \( (c,d)\to (a,b) \) より、

$$ f_{xx}(c,d)\to f_{xx}(a,b), \quad f_{xy}(c,d)\to f_{xy}(a,b), \quad f_{yy}(c,d)\to f_{yy}(a,b) \ ((h,k)\to (0,0)) $$

よって、 \( (h,k) \) が十分 \( (0,0) \) に近いとき、 \( f(a+h,b+k)-f(a,b) \) の符号は

$$ Q(h,k)=f_{xx}(a,b)h^2+2f_{xy}(a,b)hk+f_{yy}(a,b)k^2 $$

の符号で決まります。

\( (h,k)\not=(0,0) \) のとき \( h\not=0 \) または \( k\not=0 \) となるので、ここでは \( k\not=0 \) とします。( \( h\not=0 \) の場合も同様)

\( Q(h,k) \) を \( k^2 \) で割ると、

$$ \begin{align} \frac{Q(h,k)}{k^2}&=f_{xx}(a,b)\left(\frac{h}{k} \right)^2+2f_{xy}(a,b)\frac{h}{k}+f_{yy}(a,b) \\ &=f_{xx}(a,b)X^2+2f_{xy}(a,b)X+f_{yy}(a,b) \end{align} $$

ここで、 \( \frac{h}{k}=X \) とおいています。

よって、次の2次方程式

$$ f_{xx}(a,b)X^2+2f_{xy}(a,b)X+f_{yy}(a,b)=0 \tag{1} $$

を調べれば、 \( f(a+h,b+k)-f(a,b) \) の符号がわかります。この2次方程式の判別式は

$$ D=f_{xy}^2-f_{xx}f_{yy} $$

となります。

(1)　\( D>0 \) であれば、式(1)は2つの異なる実数解をもちます。つまり、 \( f(a+h,b+k)-f(a,b) \) は定符号ではないので、極値をもたず、さらに鞍点となる。

(鞍点になる理由はこの状況下では必ず \( f(x,y) \) が点 \( (a,b) \) の近くで双曲放物面(断面図が双曲線)となるからですが、詳細は省略します)

(2)　\( D<0, f_{xx}(a,b)>0 \) であれば、式(1)は実数解をもちません。つまり、 \( f(a+h,b+k)-f(a,b) \) は定符号であり、 \( f_{xx}(a,b)>0 \) より、常に正となります。

よって、点 \( (a,b) \) で極小となり、 \( f(a,b) \) は極小値となります。

(3)　\( D<0, f_{xx}(a,b)>0 \) であれば、\( f(a+h,b+k)-f(a,b) \) は常に負となります。

よって、点 \( (a,b) \) で極大となり、 \( f(a,b) \) は極大値となります。

(4)　\( D=0 \) のときは極値かどうか判定できないことを具体例をだして示します。

次の3つの関数を考えます。

$$ f(x,y)=x^4+y^4, \quad g(x,y)=x^4-y^4, \quad h(x,y)=x^4-y^3 $$

これらの関数は原点 \( (0,0) \) で \( D=0 \) となるが、グラフを見ると、 \( f \) は極値をもち、 \( g \) は鞍点であり、 \( h \) は鞍点でも極値でもないです。

よって、 \( D=0 \) だけでは極値かどうかは判定できない。