こんにちは、ひかりです。
この「微分積分学」シリーズでは、微分積分学を初めて勉強する方や苦手意識がある方向けに微分積分学の基礎的な知識をひと通り紹介しています。
高校数学と大学数学の微分積分学の違いとは
微分積分については、高校数学でも学んできたと思います。
大学数学で学ぶ微分積分は、高校数学で学んだ微分積分と比べて大きな違いがあります。
それは、「どういう」ときに「何が」成り立つのかを重視することです。
- どういう関数が微分できるのか？
- どういう関数に対して平均値の定理が成り立つのか？
- どういう関数の積分が有限となるのか？
- どういう図形の面積が積分で求められるのか？
などなどです。
それにより、高校数学のときより一般的な話を述べることができます。
大学数学で初めて出てくる関数について
- 微分積分学01：三角関数と逆三角関数
- 微分積分学02：双曲線関数と逆双曲線関数
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まずは、大学数学で初めて出てくる関数について紹介しています。
三角関数と双曲線関数は似たような性質をもつ関数なので、対比させて覚えていきましょう。
記事については以下のリンクをご覧ください。
1変数関数の微分について
- 微分積分学03：1変数関数の微分とライプニッツの定理
- 微分積分学04：平均値の定理・テイラー展開・ロピタルの定理
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次に、1変数関数の微分について紹介します。
計算については、高校数学でも学んできたものばかりです。引き続きできるようにしておきましょう。
また、テイラー展開はこれからの大学数学において、とても重要な展開となっていますのでしっかりと理解していきましょう。
記事については以下のリンクをご覧ください。
1変数関数の積分について
- 微分積分学05：1変数関数の積分
- 微分積分学06：広義積分とベータ関数・ガンマ関数
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次に、1変数関数の積分について紹介します。
微分積分学05の記事では、計算のある程度の指針を紹介するのでこれをもとに計算できるようにしておきましょう。
また、新しく広義積分というものを勉強します。これにより、積分できる関数がかなり広がります。
記事については以下のリンクをご覧ください。
多変数関数の微分について
- 微分積分学07：多変数関数の極限と連続性
- 微分積分学08：偏微分可能性と偏導関数
微分積分学09：全微分可能性と連鎖公式 -
ここからは、多変数関数について扱っていきます。
変数が複数になるため、すこし複雑になりますが、ゆっくりと学んでいきましょう。
全微分可能性はつまずく人が多い内容であるため、しっかりと解説していますので頑張っていきましょう。
記事については以下のリンクをご覧ください。
多変数関数の極値問題について
- 微分積分学10：多変数関数の極大値・極小値
- 微分積分学11：陰関数とラグランジュの未定乗数法
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次に、多変数関数の微分の応用として、極値問題について紹介します。
1変数関数においても微分をすることにより、極大値・極小値が求められていました。
しかし、多変数関数になるとすこし事情が変わり、極値が存在するかどうかは慎重に見ていく必要があります。
また、ラグランジュの未定乗数法は物理学、化学、経済学などさまざま場所で用いられている条件付き極値問題を解く手法となるので、しっかりと理解していきましょう。
記事については以下のリンクをご覧ください。
多変数関数の積分について
- 微分積分学12：多変数関数の積分と累次積分
- 微分積分学13：多変数関数の積分の変数変換
微分積分学14：多変数関数の広義積分
微分積分学15：面積・体積と曲線・曲面積 -
最後に、多変数関数の積分とその応用について紹介します。
積分の計算で大事となるのは、考えている集合や変数を計算しやすいものに書き換えることになります。
そのための方法を学んでいくことになります。
積分の応用として、体積や曲面の曲面積を求めることができます。
1変数関数の場合もあわせてさまざまな面積・体積と曲線・曲面積を求められるようにしましょう。
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微分積分学の参考書のおすすめ
最後に、さらなる微分積分学の知識を知りたい方向けに微分積分学の参考書を紹介しています。
以下のリンクからご覧ください。