こんにちは、ひかりです。
今回は微分積分学のおすすめの参考書をレベル別に紹介していきたいと思います。
それぞれの参考書の特徴などを詳しく紹介していますので、ぜひご覧ください。
微分積分学のおすすめの参考書(数学に苦手意識がある方向け)
まずはじめに、数学に苦手意識のある方やとりあえず計算ができればいいという方向けに、計算重視で書かれている微分積分学の参考書をいくつか紹介していきます。
- 大学新入生のための微分積分入門 (共立出版)
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まず、大学数学レベルの微分積分学を勉強する前に高校数学Ⅲの微分積分について知る必要が出てきます。
特に、文系の方などは高校数学Ⅲを履修されてこなかった方が多いと思います。
そんな方向けに高校数学Ⅲの微分積分についてわかりやすく解説している本をまず紹介します。
この本は高校数学で学んできた関数の知識を復習しながら微分積分に入ってくれるため、ほかの本を参照することなく高校数学の微分積分を学ぶことができます。
さらに豊富な練習問題があり、最後にはすべての問題に解答が載っています。
リンク - 大学基礎数学 微分積分キャンパス・ゼミ 改訂1 (マセマ出版社)
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有名なマセマシリーズの一冊であり、大学の本格的な微分積分学に入る準備として高校数学と大学数学の橋渡し的役割を果たしている本となっています。
特に、文系の方などで高校数学に接する時間が少なかった人におすすめとなっています。
本の構成としては、高校数学レベルの「数列と関数の極限」・「微分積分」を解説していきながら、大学数学レベルである「一変数や多変数関数の微分積分」の基礎的な話につなげていくようになっています。
この本(というよりマセマシリーズ通して)の特徴としては、ほかの本であれば省略するような途中式までしっかりと書かれていることになります。
これにより、独学や授業の復習など自分ひとりで勉強しなければならないときにも数式の操作に困ることがありません。
また、さらに進んだ微分積分学を勉強する際にも、同じマセマシリーズの大学数学の微分積分の本(次で紹介します)にスムーズに移行することができます。
リンク - 微分積分キャンパス・ゼミ 改訂9 (マセマ出版社)
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上で紹介したマセマシリーズの続編ともいえる大学数学の本格的な微分積分学を学ぶことができる本となっています。
内容も「数列と関数の極限」・「1変数関数の微分積分」・「多変数関数の微分積分」と大学数学レベルの微分積分学の内容を一通り網羅しています。
極限については \( \varepsilon \) – \( N \) 論法や \( \varepsilon \) – \( \delta \) 論法についてもわかりやすく紹介されており、厳密な数学の議論の一部を垣間見ることができます。
先ほど紹介した本同様、式変形はとても丁寧に行われていて、一人でも読んでいけるものとなっています。
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微分積分学のおすすめの参考書(数学がある程度得意な方向け)
次に、数学がある程度得意な方やしっかりと微分積分学の知識を身に着けたいと思う方向けに、計算と理論がバランスよく書かれている微分積分学の参考書をいくつか紹介していきます。
- 数研講座シリーズ 大学教養 微分積分 (数研出版)
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高校の教科書を多く出版している数研出版から出ている微分積分学の参考書です。
内容としては、「実数論」・「関数の極限」・「1変数関数の微分積分」・「多変数関数の微分積分」・「級数」・「微分方程式」と微分積分学の内容を一通り紹介されています。
また、第0章で大学数学の準備とよく用いられる数学記号についても取り扱っています。
この本の特徴としては、下のリンクの表紙を見ていただくとわかると思いますが、高校数学の教科書を意識して書かれていることになります。
そのため、高校数学の延長みたいな感覚で大学数学を学ぶことができます。
ただし、初版は誤植がかなり多いため、購入する際は第2版以降を購入することを強くおすすめします。
(もし、初版を購入した場合でも、数研出版のHPに正誤表がありますが量が多いです)
また、読んでいて難しいと感じる場合は同じシリーズから計算重視の「数研講座シリーズ 大学教養 微分積分の基礎」という本も出版されています。
リンク - チャート式シリーズ 大学教養 微分積分 (数研出版)
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上の本の問題集として大学受験等で見慣れている方も多いチャート式も出版されています。
数学は問題を解いていくなかで知識がしっかりと定着していきます。
ですので、この本にある全部で281問の問題を通じて、微分積分学をしっかりと自分のものにしていきましょう。
こちらも、計算重視の「数研講座シリーズ 大学教養 微分積分の基礎」に対応したチャート式である「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分の基礎」が出版されています。
リンク - 微分積分学Ⅰ・Ⅱ (共立出版)
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最後に、微分積分学の詳しい内容まで載っている本を紹介します。
この本は二分冊になっていて、第1巻では「実数論と数列や関数の極限」・「1変数関数の微分積分」・「級数の収束」・「関数列の収束」について扱っていて、第2巻では「多変数関数の微分積分」・「広義積分」・「多変数関数列の収束」について扱っています。
\( \mathbb{R}^N \) の位相、Fréchet微分、広義積分、変数変換などの細かい理論についてもわかりやすく書いてあり、とても難しいですが数学が得意な方はぜひ挑戦してみてください。
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微分積分学のおすすめの参考書(数学を専攻している方向け)
最後に、数学を専攻している方向けに、理論重視で書かれている微分積分学の参考書をいくつか紹介していきます。
- 軽装版 解析入門Ⅰ・Ⅱ (岩波書店)
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まずは、数学を専攻している方向けに微分積分学の理論を丁寧に解説している本を紹介します。
この本は日本人でフィールズ賞(数学のとても有名な賞)を受賞された小平先生が書かれた本になります。
この本は二分冊になっていて、第1巻では「実数論」・「1変数関数の微分積分」・「無限級数」について扱っていて、第2巻では「多変数関数の微分積分」・「曲線と曲面」について扱っています。
数学を専攻している方は入学直後に高校数学と大学数学のギャップに苦しめられますが、初めの方は高校数学に寄り添いながら話を進めていくので、とても読みやすい本になっています。
リンクリンク - 共立講座 21世紀の数学 微分積分 (共立出版)
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微分積分学の理論についてたいていのことは載っている辞書的に使える本を紹介します。
この本は「実数論」・「1変数関数の微分積分」・「無限級数」・「多変数関数の微分積分」・「曲線と曲面」と微分積分学のたいていの話が載っています。
ほかの本では省略されてしまうような定理の証明についても詳細に書いてあるため、独学にも適しています。
定理の仮定についてもできる限り外した形で書かれているため、研究をすることになっても役に立つ本になっています。
リンク - 定本 解析概論 (岩波書店)
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最後に、だれもが知る名著である解析概論について紹介します。
この本は1冊で微分積分学の内容のほかに、複素関数論やフーリエ級数、最後にはルベーグ積分論まで載っている解析学の基礎を幅広く学ぶことができます。
しかし、昔の本であるため文章が読みにくいため、ほかの本の選択肢が豊富な今の時代、必ずしも読んだ方がいいというわけではありません。
それでも良い本であることに変わりはないため、本を開いたときに抵抗感がなければぜひ挑戦してみてください。
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今回はここまでです。よい参考書に出会えることを祈っています。ひかりでした。