線形代数学続論13：正規行列の対角化

\( A \) を \( n \) 次のエルミート行列として、 \( \lambda \in\mathbb{C} \) を \( A \) の1つの固有値とします。

そして、 \( \lambda \) に対応する固有空間 \( V(\lambda) \subset \mathbb{C}^n \) から固有ベクトル \( \mathbf{x}\not=\mathbf{0} \) を1つとります。

このとき、 \( \mathbb{C}^n \) の標準的なエルミート内積を考えると、

$$ \begin{align} \lambda\|\mathbf{x}\|^2&=(\lambda\mathbf{x},\mathbf{x})=(A\mathbf{x},\mathbf{x})={}^t(A\mathbf{x})\overline{\mathbf{x}}={}^t\mathbf{x}{}^tA\overline{\mathbf{x}} \end{align} $$

一方で、 \( A \) はエルミート行列なので、

$$ \begin{align} \overline{\lambda}\|\mathbf{x}\|^2&=(\mathbf{x},\lambda\mathbf{x})=(\mathbf{x},A\mathbf{x})=(\mathbf{x},A^*\mathbf{x}) \\ &={}^t\mathbf{x}\overline{A^*\mathbf{x}}={}^t\mathbf{x}\overline{\overline{{}^tA}}\overline{\mathbf{x}}={}^t\mathbf{x}{}^tA\overline{\mathbf{x}} \end{align} $$

したがって、

$$ \lambda\|\mathbf{x}\|=\overline{\lambda}\|\mathbf{x}\| $$

よって、 \( \|\mathbf{x}\|\not=0 \) より \( \lambda=\overline{\lambda} \) であるので、 \( \lambda \) は実数となります。

(1)と(2)の同値性のみ示します。((1)と(3)の同値性も同様)

((1) \( \Rightarrow \) (2))　ユニタリ行列 \( A \) とその随伴行列 \( A^* \) を次のようにおきます。

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{pmatrix}, \quad A^*=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} \end{pmatrix} $$

このとき、 \( b_{ij}=\overline{a_{ji}} \) であることに注意すると、

$$ [A^*Aの(i,j)\text{-}成分]=\sum_{\ell=1}^nb_{i\ell}a_{\ell j}=\sum_{\ell=1}^n\overline{a_{\ell i}}a_{\ell j}=(\mathbf{a}_j,\mathbf{a}_i) $$

一方で、 \( A \) はユニタリ行列であるので、

$$ [A^*Aの(i,j)\text{-}成分]=[E_nの(i,j)\text{-}成分]=\delta_{ij}=\begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i\not=j) \end{cases} $$

したがって、

$$ (\mathbf{a}_j,\mathbf{a}_i)=\begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i\not=j) \end{cases} $$

となるので、 \( \mathbf{a}_1,\cdots,\mathbf{a}_n \) は \( \mathbb{C}^n \) の正規直交系となります。

とくに、正規直交系より \( \mathbf{a}_1,\cdots,\mathbf{a}_n \) は \( n \) 個の1次独立の組となるので、 \( \mathbb{C}^n \) の正規直交基底となります。

((2) \( \Rightarrow \) (1))　(基本的に上の議論を逆にたどるだけです)

複素正方行列 \( A \) とその随伴行列 \( A^* \) を次のようにおきます。

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{pmatrix}, \quad A^*=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} \end{pmatrix} $$

そして、 \( \mathbf{a}_1,\cdots,\mathbf{a}_n \) が \( \mathbb{C}^n \) の正規直交基底であるとします。

このとき、 \( b_{ij}=\overline{a_{ji}} \) であることに注意すると、

$$ \delta_{ij}=(\mathbf{a}_j,\mathbf{a}_i)=\sum_{\ell=1}^n\overline{a_{\ell i}}a_{\ell j}=\sum_{\ell=1}^nb_{i\ell}a_{\ell j}=[A^*Aの(i,j)\text{-}成分] $$

したがって、 \( A^*A=E_n \) となり、同様に \( AA^*=E_n \) も示せるので、 \( A \) はユニタリ行列となります。

前半の三角化可能であるということについては、線形代数学続論11の定理6で示しました。

(前半の証明と続けて読むことをおすすめします。)

ここでは、 \( P \) として、 \( K=\mathbb{R} \) のときは直交行列としてとることができることを示します。

( \( K=\mathbb{C} \) のときも同様に示せます。)

固有値 \( \lambda_1 \) に対応する固有空間 \( V(\lambda_1) \) から1つ固有ベクトル \( \mathbf{x}_1\not=\mathbf{0} \) を \( (\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_1)=1 \) となるようにとります。

そして、シュミットの正規直交化法により残りの \( n-1 \) 個の \( \mathbf{x}_2,\cdots,\mathbf{x}_n \) をうまくとることにより \( \mathbf{x}_1,\cdots,\mathbf{x}_n \) を \( \mathbb{R}^n \) の正規直交基底にすることができます。

( \( \mathbf{x}_1,\mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_n \) が1次独立になるようにベクトル \( \mathbf{a}_2,\cdots,\mathbf{a}_n\in \mathbb{R}^n \) を選ぶことができるので、シュミットの正規直交化法が使えます。)

以下、 \( P_1,P_2,P \) は線形代数学続論11の定理6の証明の \( P_1,P_2,P \) とします。

このとき、 \( P_1=\begin{pmatrix} \mathbf{x}_1 & \cdots & \mathbf{x}_n \end{pmatrix} \) とおくと、定理3より \( P_1 \) は直交行列になっています。

よって、

$$ \begin{align} P{}^tP&=P_1\left( \begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \hline 0 & & & \\ \vdots & & {\LARGE{P_2}} \\ 0 & & & \end{array} \right){}^t\left( \begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \hline 0 & & & \\ \vdots & & {\LARGE{P_2}} \\ 0 & & & \end{array} \right){}^tP_1 \\ &=P_1\left( \begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \hline 0 & & & \\ \vdots & & {\LARGE{P_2}} \\ 0 & & & \end{array} \right)\left( \begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \hline 0 & & & \\ \vdots & & {\LARGE{{}^tP_2}} \\ 0 & & & \end{array} \right){}^tP_1 \\ &=P_1\left( \begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \hline 0 & & & \\ \vdots & & {\LARGE{P_2{}^tP_2}} \\ 0 & & & \end{array} \right){}^tP_1 \\ &=P_1\left( \begin{array}{c|ccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \hline 0 & & & \\ \vdots & & {\LARGE{E_{n-1}}} \\ 0 & & & \end{array} \right){}^tP_1 \quad (P_2は帰納法の仮定より直交行列) \\ &=P_1{}^tP_1=E_n \end{align} $$

同様に \( {}^tPP=E_n \) も示せるので、 \( P \) も直交行列となります。

((1) \( \Rightarrow \) (2))　まず、 \( A \) を実対称行列として、 \( A \) の固有多項式を複素数の範囲で

$$ \varphi_A(t)=|A-tE_n|=(-1)^n\prod_{i=1}^n(t-\lambda_i), \quad (\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in \mathbb{C}) $$

と分解します。

このとき、定理1より固有値は \( \lambda_1,\cdots,\lambda_n\in\mathbb{R} \) となります。

まず、定理4より適当な直交行列 \( P \) を用いて、

$$ P^{-1}AP={}^tPAP=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{*}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & \lambda_n \end{pmatrix} $$

と三角化することができます。

ここで、 \( A \) は実対称行列であるので、

$$ {}^t({}^tPAP)={}^tP{}^tA{}^t({}^tP)={}^tPAP $$

したがって、 \( {}^tPAP \) も対称行列となります。よって、

$$ \begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{*}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & \lambda_n \end{pmatrix}={}^tPAP={}^t({}^tPAP)=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{0}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{*}} & & \lambda_n \end{pmatrix} $$

となり、各成分を比較すると、

$$ {}^tPAP=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{0}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & \lambda_n \end{pmatrix} $$

((2) \( \Rightarrow \) (1))　実正方行列 \( A \) が適当な直交行列 \( P \) を用いて、

$$ P^{-1}AP={}^tPAP=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{0}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & \lambda_n \end{pmatrix} \quad (\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in \mathbb{R}) $$

とできたとします。このとき、 \( {}^tPAP={}^t({}^tPAP) \) となるので、

$$ P^{-1}AP={}^tPAP={}^t({}^tPAP)={}^tP{}^tA{}^t({}^tP)={}^tP{}^tAP=P^{-1} \ {}^tAP $$

となるので、最両辺に左から \( P \) 、右から \( P^{-1} \) をかけると、 \( A={}^tA \)

したがって、 \( A \) は実対称行列となります。

((1) \( \Rightarrow \) (2))　まず、 \( A \) をエルミート行列として、 \( A \) の固有多項式を複素数の範囲で

$$ \varphi_A(t)=|A-tE_n|=(-1)^n\prod_{i=1}^n(t-\lambda_i), \quad (\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in \mathbb{C}) $$

と分解します。

このとき、定理1より固有値は \( \lambda_1,\cdots,\lambda_n\in\mathbb{R} \) となります。

まず、定理4より適当なユニタリ行列 \( U \) を用いて、

$$ U^{-1}AU=U^*AU=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{*}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & \lambda_n \end{pmatrix} $$

と三角化することができます。

ここで、 \( A \) はエルミート行列であるので、

$$ (U^*AU)^*=U^*A^*(U^*)^*=U^*AU $$

したがって、 \( U^*AU \) もエルミート行列となります。よって、

$$ \begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{*}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & \lambda_n \end{pmatrix}=U^*AU=(U^*AU)^*=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{0}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{*}} & & \lambda_n \end{pmatrix} $$

となり、各成分を比較すると、

$$ U^*AU=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{0}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & \lambda_n \end{pmatrix} $$

((2) \( \Rightarrow \) (1))　複素正方行列 \( A \) が適当なユニタリ行列 \( U \) を用いて、

$$ U^{-1}AU=U^*AU=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{0}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & \lambda_n \end{pmatrix} \quad (\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in \mathbb{R}) $$

とできたとします。このとき、 \( U^*AU=(U^*AU)^* \) となるので、

$$ U^{-1}AU=U^*AU=(U^*AU)^*=U^*A^*(U^*)^*=U^*A^*U=U^{-1}A^*U $$

となるので、最両辺に左から \( U \) 、右から \( U^{-1} \) をかけると、 \( A=A^* \)

したがって、 \( A \) はエルミート行列となります。

((1) \( \Rightarrow \) (2))　まず、 \( A \) を正規行列として、 \( A \) の固有多項式を複素数の範囲で

$$ \varphi_A(t)=|A-tE_n|=(-1)^n\prod_{i=1}^n(t-\lambda_i), \quad (\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in \mathbb{C}) $$

と分解します。

まず、定理4より適当なユニタリ行列 \( U \) を用いて、

$$ U^{-1}AU=U^*AU=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{*}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & \lambda_n \end{pmatrix} $$

と三角化することができます。ここで、

$$ B=U^*AU=\begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & \cdots & b_{1n} \\ & b_{22} & & \vdots \\ & & \ddots & \vdots \\ {\LARGE{0}} & & & b_{nn} \end{pmatrix} $$

とおきます。このとき、 \( U \) はユニタリ行列なので、

$$ B^*B=(U^*AU)^*(U^*AU)=(U^*A^*U)(U^*AU)=U^*(AA^*)U $$

$$ BB^*=(U^*AU)(U^*AU)^*=(U^*AU)(U^*A^*U)=U^*(AA^*)U $$

よって、 \( B^*B=BB^* \) となり、 \( B \) も正規行列となります。

ここで、

$$ \begin{align} &\left[B^*Bの(1,1)成分\right] \\ &=\left[ \begin{pmatrix} \bar{b}_{11} & & & {\LARGE{0}} \\ \vdots & \bar{b}_{22} & & \\ \vdots & & \ddots & \\\bar{b}_{1n} & \cdots & \cdots & \bar{b}_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & \cdots & b_{1n} \\ & b_{22} & & \vdots \\ & & \ddots & \vdots \\ {\LARGE{0}} & & & b_{nn} \end{pmatrix}の(1,1)成分 \right] \\ &=|b_{11}|^2 \end{align} $$

$$ \begin{align} &\left[BB^*の(1,1)成分\right] \\ &=\left[ \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & \cdots & b_{1n} \\ & b_{22} & & \vdots \\ & & \ddots & \vdots \\ {\LARGE{0}} & & & b_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{b}_{11} & & & {\LARGE{0}} \\ \vdots & \bar{b}_{22} & & \\ \vdots & & \ddots & \\\bar{b}_{1n} & \cdots & \cdots & \bar{b}_{nn} \end{pmatrix}の(1,1)成分 \right] \\ &=|b_{11}|^2+|b_{12}|^2+\cdots+|b_{1n}|^2 \end{align} $$

であるので、 \( B^*B=BB^* \) より、

$$ b_{12}=\cdots=b_{1n}=0 $$

したがって、

$$ B=\begin{pmatrix} b_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ & b_{22} & & {\LARGE{*}} \\ & & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & & b_{nn} \end{pmatrix} $$

同様に、 \( BB^* \) と \( B^*B \) の \( (i,i) \) 成分 ( \( 1≦i≦n \) ) を順次比較することによって、 \( b_{ij}=0 \ (i\not=j) \) となります。

したがって、 \( B=U^*AU \) は対角行列となります。

((2) \( \Rightarrow \) (1))　\( n \) 次複素正方行列 \( A \) が適当なユニタリ行列 \( U \) を用いて、

$$ U^{-1}AU=U^*AU=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & {\LARGE{0}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & \lambda_n \end{pmatrix} \quad (\lambda_1,\cdots,\lambda_n\in \mathbb{C}) $$

と対角化できたとします。このとき、

$$ U^*A^*U=(U^*AU)^*=\begin{pmatrix} \overline{\lambda}_1 & & {\LARGE{0}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & \overline{\lambda}_n \end{pmatrix} $$

したがって、 \( U \) はユニタリ行列であるので、

$$ \begin{align} U^*(AA^*)U&=(U^*AU)(U^*A^*U)=\begin{pmatrix} |\lambda_1|^2 & & {\LARGE{0}} \\ & \ddots & \\ {\LARGE{0}} & & |\lambda_n|^2 \end{pmatrix} \\ &=(U^*A^*U)(U^*AU)=U^*(A^*A)U \end{align} $$

よって、 \( AA^*=A^*A \) となるので、 \( A \) は正規行列となります。