線形代数学続論08：線形写像の表現行列

こんにちは、ひかりです。

今回は線形代数学続論から線形写像の表現行列について解説していきます。

この記事では以下のことを紹介します。

線形写像の表現行列

線形代数学続論02の記事で数ベクトル空間の間の線形写像に対して、行列との関係性を見ました。

それにより、線形写像 \( f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m \) と \( m\times n \) 行列 \( A \) は1対1に対応することがわかりました。

ここでは、一般のベクトル空間の間の線形写像に対して、同様の結果が得られるのかを見ていきましょう。

線形写像の行列表示

\( V,W \) をベクトル空間として、 \( V \) の基底を \( \mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n \) 、 \( W \) の基底を \( \mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_m \) とします。

このとき、線形写像 \( f:V\to W \) を考えると、基底の定義より、

$$ V=S[\mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n], \quad W=S[\mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_m] $$

であるので、各 \( \mathbf{v}_j \) を \( f \) で移すと、

$$ f(\mathbf{v}_j)=a_{1j}\mathbf{w}_1+\cdots+a_{mj}\mathbf{w}_m \quad (a_{ij}\in K, \ 1≦j≦n) $$

よって、このスカラー

$$ a_{ij}\in K \quad (1≦i≦m, \ 1≦j≦n) $$

を並べた \( m\times n \) 行列

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$

を考えると、

$$ \begin{align} \begin{pmatrix} f(\mathbf{v}_1) & \cdots & f(\mathbf{v}_n) \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \displaystyle \sum_{i=1}^ma_{i1}\mathbf{w}_i & \cdots & \displaystyle \sum_{i=1}^ma_{in}\mathbf{w}_i \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 & \cdots & \mathbf{w}_m \end{pmatrix} A \end{align} \tag{1} $$

したがって、任意の \( \mathbf{v}\in V \) をとると、

$$ \mathbf{v}=x_1\mathbf{v}_1+\cdots+x_n\mathbf{v}_n $$

と表されるので、

$$ \begin{align} f(\mathbf{v})&=f(x_1\mathbf{v}_1+\cdots+x_n\mathbf{v}_n) \\ &=x_1f(\mathbf{v}_1)+\cdots+x_nf(\mathbf{v}_n) \quad (fの線形性) \\ &=\begin{pmatrix} f(\mathbf{v}_1) & \cdots & f(\mathbf{v}_n) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 & \cdots & \mathbf{w}_m \end{pmatrix} A\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \quad (式(1)より) \end{align} $$

一方で、

$$ \begin{align} f(\mathbf{v})&=y_1\mathbf{w}_1+\cdots+y_m\mathbf{w}_m \\ &=\begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 & \cdots & \mathbf{w}_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} \end{align} $$

となるので、

$$ \begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 & \cdots & \mathbf{w}_m \end{pmatrix} A\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 & \cdots & \mathbf{w}_m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} $$

したがって、 \( \mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_m \) は \( W \) の基底より、 \( \mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_m \) の1次結合の表し方は1通りであるので、

$$ A\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} $$

ここまでをまとめると、

行列の線形写像での表示

今度は、 \( m\times n \) 行列 \( A \) を与えます。

また、 \( V,W \) をベクトル空間として、 \( V \) の基底を \( \mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n \) 、 \( W \) の基底を \( \mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_m \) とします。

このとき、任意の \( V \) の元

$$ \mathbf{v}=x_1\mathbf{v}_1+\cdots+x_n\mathbf{v}_n=\begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} $$

に対して、 \( f(\mathbf{v})\in W \) を次で定めます。

$$ f(\mathbf{v})=\begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 & \cdots & \mathbf{w}_m \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} $$

すると、この写像 \( f:V\to W \) は線形写像となります。

なぜなら、任意の

$$ \mathbf{u}=x_1\mathbf{v}_1+\cdots+x_n\mathbf{v}_n\in V $$

$$ \mathbf{v}=y_1\mathbf{v}_1+\cdots+y_n\mathbf{v}_n\in V $$

とスカラー \( \alpha,\beta\in K \) に対して、

$$ \alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}=(\alpha x_1+\beta y_1)\mathbf{v}_1+\cdots+(\alpha x_n+\beta y_n)\mathbf{v}_n $$

であり、

$$ \begin{align} f(\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v})&=\begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 & \cdots & \mathbf{w}_m \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} \alpha x_1+\beta y_1 \\ \vdots \\ \alpha x_n+\beta y_n \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 & \cdots & \mathbf{w}_m \end{pmatrix}A \left\{ \alpha\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \right\} \\ &=\alpha\begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 & \cdots & \mathbf{w}_m \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 & \cdots & \mathbf{w}_m \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \\ &=\alpha f(\mathbf{u})+\beta f(\mathbf{v}) \end{align} $$

となるからです。ここまでをまとめると、

定理1と定理2より、次が成り立ちます。

基底の取り換えと表現行列

ベクトル空間の基底はさまざまな取り方がありました。

そのため、基底のとり方によって表現行列がどのように変わっていくのかを見ていきましょう。

\( V,W \) をベクトル空間として、 \( V \) の2つの基底を \( \mathbf{v}_1,\cdots,\mathbf{v}_n \) と \( \mathbf{v}’_1,\cdots,\mathbf{v}’_n \) 、 \( W \) の2つの基底を \( \mathbf{w}_1,\cdots,\mathbf{w}_m \) と \( \mathbf{w}’_1,\cdots,\mathbf{w}’_m \) とします。

このとき、各 \( \mathbf{v}’_j,\mathbf{w}’_j \) は

$$ \mathbf{v}’_j=p_{1j}\mathbf{v}_1+\cdots+p_{nj}\mathbf{v}_n \quad (p_{ij}\in K, \ 1≦j≦n) $$

$$ \mathbf{w}’_j=q_{1j}\mathbf{w}_1+\cdots+q_{mj}\mathbf{w}_m \quad (q_{ij}\in K, \ 1≦j≦m) $$

となるので、

$$ \begin{align} \begin{pmatrix} \mathbf{v}’_1 & \cdots & \mathbf{v}’_n\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \displaystyle \sum_{i=1}^np_{i1}\mathbf{v}_i & \cdots & \displaystyle \sum_{i=1}^np_{in}\mathbf{v}_i \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \cdots & \mathbf{v}_n \end{pmatrix} P \end{align} $$

$$ \begin{align} \begin{pmatrix} \mathbf{w}’_1 & \cdots & \mathbf{w}’_m \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} \displaystyle \sum_{i=1}^mq_{i1}\mathbf{w}_i & \cdots & \displaystyle \sum_{i=1}^mq_{in}\mathbf{w}_i \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \mathbf{w}_1 & \cdots & \mathbf{w}_m \end{pmatrix} Q \end{align} $$

ここで、

$$ P=\begin{pmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1n} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2n} \\ \vdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nn} \end{pmatrix}, \quad Q=\begin{pmatrix} q_{11} & q_{12} & \cdots & q_{1m} \\ q_{21} & q_{22} & \cdots & q_{2m} \\ \vdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ q_{m1} & q_{m2} & \cdots & q_{mm} \end{pmatrix} $$

すると、2つの基底の間の表現行列の間に次が成り立ちます。

線形写像の合成と表現行列の積

2つの線形写像の表現行列からその合成写像の表現行列を与えることができることを見ていきましょう。

今回はここまでです。お疲れ様でした。また次回にお会いしましょう。