線形代数学続論04：置換による行列式の定義と再考

(1)　$$ \begin{align} 左辺&=\sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn} \ (\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots (a_{i\sigma(i)}+b_{i\sigma(i)})\cdots a_{n\sigma(n)} \\ &=\sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn} \ (\sigma)(a_{1\sigma(1)}\cdots a_{i\sigma(i)}\cdots a_{n\sigma(n)}+a_{1\sigma(1)}\cdots b_{i\sigma(i)}\cdots a_{n\sigma(n)}) \\ &=\left(\sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn} \ (\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots a_{i\sigma(i)}\cdots a_{n\sigma(n)}\right)+\left(\sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn} \ (\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots b_{i\sigma(i)}\cdots a_{n\sigma(n)}\right) \\ &=右辺 \end{align} $$

(2)　$$ \begin{align} 左辺&=\sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn} \ (\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots (ka_{i\sigma(i)})\cdots a_{n\sigma(n)} \\ &=k\sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn} \ (\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots a_{i\sigma(i)}\cdots a_{n\sigma(n)} \\ &=右辺 \end{align} $$

\( \sigma\in S_n \) に対して、置換 \( \tau\in S_n \) を互換 \( \begin{pmatrix} i & j \end{pmatrix} \) を用いて次で定めます。

$$ \tau=\sigma\begin{pmatrix} i & j \end{pmatrix} $$

このとき、

$$ \tau(i)=\sigma(j), \quad \tau(j)=\sigma(i), \quad \tau(k)=\sigma(k) \ (k\not=i,j) $$

また、互換 \( \begin{pmatrix} i & j \end{pmatrix} \) を \( \sigma_{ij} \) と表すと、対応

$$ \sigma \to \sigma\sigma_{ij}=\tau $$

は \( S_n \) から \( S_n \) への全単射となります。

なぜならば、

(全射性)　\( S_n \) の任意の元 \( \rho \) に対して、 \( \sigma=\rho\sigma_{ij}^{-1} \) とおけば、

$$ \sigma \to \sigma\sigma_{ij}=(\rho\sigma_{ij}^{-1})\sigma_{ij}=\rho $$

となるので、この対応は全射となります。

( \( S_n \) の任意の元 \( \rho \) に対して、 \( \sigma\to \rho \) となる \( \sigma\in S_n \) が存在したからです。)

(単射性)　単射性を示すので、

$$ \sigma_1\sigma_{ij}=\sigma_2\sigma_{ij} $$

を仮定します。このとき、

$$ \begin{align} \sigma_1&=\sigma_1\cdot 1_n=\sigma_1(\sigma_{ij}\sigma_{ij}^{-1})=(\sigma_1\sigma_{ij})\sigma_{ij}^{-1}=(\sigma_2\sigma_{ij})\sigma_{ij}^{-1} \\ &=\sigma_2(\sigma_{ij}\sigma_{ij}^{-1})=\sigma_2\cdot 1_n=\sigma_2 \end{align} $$

となるので、この対応は単射となります。

したがって、全単射の対応

$$ \sigma \to \sigma\sigma_{ij}=\tau $$

により、 \( \sigma \) が \( S_n \) 全体を動くとき、 \( \tau \) も \( S_n \) 全体を動きます。

また、 \( \tau \) の符号は \( \text{sgn} \ (\sigma_{ij})=-1 \) より、

$$ \text{sgn} \ (\tau)=\text{sgn} \ (\sigma\sigma_{ij})=\text{sgn} \ (\sigma)\cdot \text{sgn} \ (\sigma_{ij})=-\text{sgn} \ (\sigma) $$

いよいよ、定理2を考えると、

$$ \begin{align} 定理2の左辺&=\sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn} \ (\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots a_{i\sigma(i)}\cdots a_{j\sigma(j)}\cdots a_{n\sigma(n)} \\ &=\sum_{\tau\in S_n}(-\text{sgn} \ (\tau))a_{1\tau(1)}\cdots a_{i\tau(j)}\cdots a_{j\tau(i)}\cdots a_{n\tau(n)} \\ &=-\sum_{\tau\in S_n}\text{sgn} \ (\tau)a_{1\tau(1)}\cdots a_{j\tau(i)}\cdots a_{i\tau(j)}\cdots a_{n\tau(n)} \quad (a_{i\tau(j)}とa_{j\tau(i)}を入れかえた) \\ &=定理2の右辺 \end{align} $$

等しい行を第 \( i \) 行と第 \( j \) 行 \( (j>i) \) とします。

このとき、第 \( i \) 行と第 \( j \) 行を入れ替えると、定理2より、

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{c_1} & \color{red}{\dots} & \color{red}{c_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{c_1} & \color{red}{\dots} & \color{red}{c_n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{c_1} & \color{red}{\dots} & \color{red}{c_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \color{red}{c_1} & \color{red}{\dots} & \color{red}{c_n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$

したがって、

$$ 2\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ c_1 & \dots & c_n \\ \vdots & & \vdots \\ c_1 & \dots & c_n \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=0 $$

であるので、

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ c_1 & \dots & c_n \\ \vdots & & \vdots \\ c_1 & \dots & c_n \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}=0 $$

3次正方行列で示します。つまり、次を示します。

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{red}{a_{21}} & \color{red}{a_{22}} & \color{red}{a_{23}} \\ \color{blue}{a_{31}} & \color{blue}{a_{32}} & \color{blue}{a_{33}} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ \color{red}{a_{21}}+k\color{blue}{a_{31}} & \color{red}{a_{22}}+k\color{blue}{a_{32}} & \color{red}{a_{23}}+k\color{blue}{a_{33}} \\ \color{blue}{a_{31}} & \color{blue}{a_{32}} & \color{blue}{a_{33}} \end{vmatrix} $$

右辺をいままでの定理を用いることにより、

$$ \begin{align} &\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+ka_{31} & a_{22}+ka_{32} & a_{23}+ka_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ka_{31} & ka_{32} & ka_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \quad (定理1(1)より) \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+k\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \quad (定理1(2)より) \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}+k\cdot 0 \quad (定理3より) \\ &=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \end{align} $$

置換 \( \tau\in S_n \) を互換の積に分解したとき次のようになるとします。

$$ \tau=\tau_m\cdots \tau_1 $$

各 \( \tau_i \) によって行列の2つの行が入れ替わるので、 \( \tau \) によって \( m \) 回行列の2つの行が入れ替わることになります。

したがって、定理2より行列式は \( (-1)^m \) 倍されます。また、

$$ \text{sgn} \ (\tau)=(-1)^m $$

であるので、定理が成り立ちます。

\( A,B \) を次のようにおきます。

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \dots & b_{nn} \end{pmatrix} $$

このとき、

$$ \mathbf{b}_i=\begin{pmatrix} b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \end{pmatrix} \quad (i=1,2,\cdots,n) $$

とおくと、

$$ AB=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{b}_2 \\ \vdots \\ \mathbf{b}_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sum_{i=1}^na_{1i}\mathbf{b}_i \\ \sum_{i=1}^na_{2i}\mathbf{b}_i \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^na_{ni}\mathbf{b}_i \end{pmatrix} $$

となります。ここで、

$$ \begin{pmatrix} \mathbf{b}_1 \\ \mathbf{b}_2 \\ \vdots \\ \mathbf{b}_n \end{pmatrix} $$

は行列であることに注意してください。

よって、行列式を求めると、定理1より、

$$ |AB|=\begin{vmatrix} \sum_{i=1}^na_{1i}\mathbf{b}_i \\ \sum_{i=1}^na_{2i}\mathbf{b}_i \\ \vdots \\ \sum_{i=1}^na_{ni}\mathbf{b}_i \end{vmatrix}=\sum_{i_n=1}^n\cdots\sum_{i_2=1}^n\sum_{i_1=1}^na_{1i_1}\cdots a_{ni_n}\begin{vmatrix} \mathbf{b}_{i_1} \\ \mathbf{b}_{i_2} \\ \vdots \\ \mathbf{b}_{i_n} \end{vmatrix} \tag{1} $$

ここで、定理3より、 \( \mathbf{b}_{i_1},\mathbf{b}_{i_2},\cdots,\mathbf{b}_{i_n} \) のうち同じものが1組でもあれば、

$$ \begin{vmatrix} \mathbf{b}_{i_1} \\ \mathbf{b}_{i_2} \\ \vdots \\ \mathbf{b}_{i_n} \end{vmatrix}=0 $$

となります。よって、式(1)は \( i_1,i_2,\cdots,i_n \) がすべて異なる場合でのみ和をとればいいことになります。

これは置換

$$ \sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix} $$

を \( S_n \) 全体に関して和をとることに相当します。したがって、

$$ \begin{align} |AB|&=\sum_{\sigma\in S_n}a_{1i_1}\cdots a_{ni_n}\begin{vmatrix} \mathbf{b}_{i_1} \\ \mathbf{b}_{i_2} \\ \vdots \\ \mathbf{b}_{i_n} \end{vmatrix} \quad \left(\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ i_1 & i_2 & \cdots & i_n \end{pmatrix}\right) \\ &=\sum_{\sigma\in S_n}a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}\begin{vmatrix} \mathbf{b}_{\sigma(1)} \\ \mathbf{b}_{\sigma(2)} \\ \vdots \\ \mathbf{b}_{\sigma(n)} \end{vmatrix} \\ &=\sum_{\sigma\in S_n}a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}\text{sgn} \ (\sigma)\begin{vmatrix} \mathbf{b}_{1} \\ \mathbf{b}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{b}_{n} \end{vmatrix} \quad (定理5より) \\ &=\left( \sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn} \ (\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)} \right)\begin{vmatrix} \mathbf{b}_{1} \\ \mathbf{b}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{b}_{n} \end{vmatrix} \\ &=|A|\cdot |B| \end{align} $$

となり、定理が成り立ちます。

\( A \) を次のようにおきます。

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} $$

このとき、 \( A \) の転置行列 \( {}^tA \) は次のようになります。

$$ {}^tA=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} $$

よって、 \( {}^tA \) の行列式は

$$ |{}^tA|=\sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn} \ (\sigma)a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n} $$

となります。このとき、 \( \sigma(1),\sigma(2),\cdots\sigma(n) \) を \( 1,2,\cdots,n \) に並び替えると、

$$ a_{\sigma(1)1}a_{\sigma(2)2}\cdots a_{\sigma(n)n}=a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}\cdots a_{n\sigma^{-1}(n)} $$

となります。線形代数学続論03の定理6の(3)より、 \( \text{sgn} \ (\sigma^{-1})=\text{sgn} \ (\sigma) \) であるので、

$$ |{}^tA|=\sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn} \ (\sigma^{-1})a_{1\sigma^{-1}(1)}a_{2\sigma^{-1}(2)}\cdots a_{n\sigma^{-1}(n)} $$

定理2の証明と同様にして、対応

$$ \sigma \to \sigma^{-1} $$

により、 \( \sigma \) が \( S_n \) 全体を動くとき、 \( \sigma^{-1} \) も \( S_n \) 全体を動きます。

したがって、 \( \tau=\sigma^{-1} \) とおくと、

$$ |{}^tA|=\sum_{\tau\in S_n}\text{sgn} \ (\tau)a_{1\tau(1)}a_{2\tau(2)}\cdots a_{n\tau(n)}=|A| $$

となり、定理が成り立ちます。

行列 \( A \) を次のようにおきます。

$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix} $$

このとき、仮定より

$$ a_{21}=a_{31}=\cdots=a_{n1}=0 $$

\( \sigma\in S_n \) のうち、 \( \sigma(1)\not=1 \) の置換に関しては、 \( \sigma \) の全単射性よりある \( k=2,3,\cdots,n \) で \( \sigma(k)=1 \) となります。

このとき、

$$ a_{k\sigma(k)}=a_{k1}=0 $$

であるので、

$$ a_{1\sigma(1)}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{k\sigma(k)} \cdots a_{n\sigma(n)}=0 $$

となります。

よって、 \( \sigma\in S_n \) に関する和は \( \sigma(1)=1 \) となる \( \sigma\in S_n \) に関してのみとればよいことが分かります。

これは \( n-1 \) 文字の入れ替えであるとみると、 \( S_{n-1} \) に関する和と考えることができます。

したがって、

$$ \begin{align} |A|&=\sum_{\substack{\sigma\in S_n \\ \sigma(1)=1}}\text{sgn} \ (\sigma)a_{11}a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)} \\ &=a_{11}\sum_{\substack{\sigma\in S_n \\ \sigma(1)=1}}\text{sgn} \ (\sigma)a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)} \\ &=a_{11}\sum_{\tau\in S_{n-1}}\text{sgn} \ (\tau)a_{2\tau(2)}\cdots a_{n\tau(n)} \\ &=a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{align} $$

となり、定理が成り立ちます。

行列 \( A \) の第 \( i \) 行は

$$ \begin{pmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{i1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & a_{i2} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}+\cdots+\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{in} \end{pmatrix} $$

というように、分解することができるので、 \( A \) の行列式は

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{i1} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 0 & a_{i2} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}+\cdots+\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{in} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $$

と分解できます。

ここで、第 \( j \) 項を考えると、

$$ \begin{align} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & & & \vdots \\ 0 & \cdots & a_{ij} & \cdots & 0 \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}&=(-1)^{i-1}\begin{vmatrix} 0 & \cdots & a_{ij} & \cdots & 0 \\ a_{11} & \cdots & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & \cdots & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ &\quad (第i行を1つずつ上に入れ替えて一番上まであげる) \\ &=(-1)^{i+j-2}\begin{vmatrix} a_{ij} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{1j} & a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{nj} & a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ &\quad (第j列を1つずつ左に入れ替えて一番左まであげる) \\ &=(-1)^{i+j}a_{ij}\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \quad (定理8の列版より) \\ &\quad (Aの第i行と第j列が除かれていることに注意) \\ &=(-1)^{i+j}a_{ij}|\widetilde{A}_{ij}|=a_{ij}(-1)^{i+j}|\widetilde{A}_{ij}|=a_{ij}\widetilde{a}_{ij} \end{align} $$

これを \( j \) に関して和をとることにより、

$$ |A|=a_{i1}\widetilde{a}_{i1}+a_{i2}\widetilde{a}_{i2}+\cdots+a_{in}\widetilde{a}_{in} $$