こんにちは、ひかりです。
この「線形代数学続論」シリーズでは、「線形代数学」シリーズの内容を理解した方や線形代数学の詳しい内容を知りたい方向けに線形代数学の標準的な知識をひと通り紹介しています。
初めて線形代数学を勉強する方は「線形代数学」シリーズからご覧ください。
数ベクトル空間の間の線形写像の性質について
- 線形代数学続論01：写像の全射・単射と数ベクトル空間
- 線形代数学続論02：線形写像の定義と行列との関係
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ここでは、数ベクトル空間に限定して線形写像を考えます。
線形写像は行列と1対1の関係をもつことがわかり、線形写像を調べるには行列を調べればよいことがいえます。
これにより、線形代数学にてなぜ行列を学ぶのかが少しづつ見えてきます。
記事については以下のリンクからご覧ください。
置換による行列式の定義について
- 線形代数学続論03：置換・互換と置換の符号
- 線形代数学続論04：置換による行列式の定義と再考
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ここでは、「線形代数学」シリーズにて余因子を用いて与えた定義とは別の行列式の定義について考えます。
置換という新しい概念が出てくるので少しややこしいですが、余因子での定義では示すことのできなかった定理なども示すことができるようになるため、しっかりと理解していきましょう。
2つの定義の同値性についても示しています。
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ベクトル空間(線形空間)について
- 線形代数学続論05：ベクトル空間(線形空間)の定義と性質
- 線形代数学続論06：1次独立と1次従属
線形代数学続論07：ベクトル空間の基底と次元
線形代数学続論08：線形写像の表現行列
線形代数学続論09：ベクトル空間の同型と商ベクトル空間
線形代数学続論10：行列のランクと線形写像の基本定理 -
ここでは、ベクトル空間(線形空間)とよばれる線形代数学においてとても重要な概念を紹介しています。
ベクトル空間を一言でいうと、いままで学んできた行列・行列式や線形写像などを活かす場所のことです。
ベクトル空間の定義はとても抽象的でわかりにくいですが、この定義をみたすものをベクトルとすることにより、いままでの数ベクトルだけでは扱うことのできなかったさまざまな定理が得られ、行列と行列式、ベクトル、線形写像が実は密接につながっている概念であるということが分かります。
記事については以下のリンクからご覧ください。
行列の対角化について
- 線形代数学続論11：行列の対角化と三角化
- 線形代数学続論12：内積空間とシュミットの正規直交化法
線形代数学続論13：正規行列の対角化 -
ここでは、与えられた行列を対角行列へと変換できるかどうかについて考えていきます。
行列の対角化の有用性については「線形代数学」シリーズにて紹介しました。
しかし、どういう行列が対角化できるのかということについては、詳しく述べませんでした。
よって、ここで行列の対角化ができる条件をきちんとまとめています。
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2次形式とジョルダン標準形について
- 線形代数学続論14：2次形式とエルミート形式
線形代数学続論15：行列のスペクトル分解とジョルダン標準形 -
ここでは、2次形式とジョルダン標準形について解説しています。
2次形式はほかの数学の分野においてよく用いられる概念であるのでこの場できちんと学んでおきましょう。
また、ジョルダン標準形とは対角化可能でない複素正方行列を対角行列に近い形にまで変形できないかということを考えたものになります。
ジョルダン標準形の証明は準備が多くかなり大変ですが、ぜひチャレンジしてみてください。
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線形代数学の参考書のおすすめ
最後に、さらなる線形代数学の知識を知りたい方向けに線形代数学の参考書を紹介しています。
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