確率・統計(統計検定2級対応)30：2元配置分散分析モデル

2つの因子 \( A,B \) と因子 \( A \) の \( \ell \ (\ell≧2) \) 個の水準および因子 \( B \) の \( m \ (m≧2) \) 個の水準に対して、因子 \( A \) の \( i \) 番目の水準と因子 \( B \) の \( j \) 番目の水準から抽出した \( k \) 個目のデータ \( y_{ijk} \) とばらつきの値を表す互いに独立で正規分布 \( N(0,\sigma^2) \) に従う確率変数 \( \varepsilon_{ijk} \) に対して、

$$ y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\gamma_{ij}+\varepsilon_{ijk}, \quad (i=1,\cdots,\ell, \ j=1,\cdots,m, \ k=1,\cdots,n(i,j)) $$

と表されるとき、このモデルを2元配置分散分析モデルという。

ここで、 \( \alpha_i,\beta_j,\gamma_{ij} \) は次をみたす。

$$ \sum_{i=1}^{\ell}\alpha_i=\sum_{j=1}^m\beta_j=\sum_{i=1}^{\ell}\gamma_{ij}=\sum_{j=1}^m\gamma_{ij}=0 $$

また、 \( \mu \) のことを一般平均、 \( \alpha_i \) のことを \( A \) 因子主効果、 \( \beta_j \) のことを \( B \) 因子主効果、 \( \gamma_{ij} \) のことを交互作用効果、\( \varepsilon_{ijk} \) のことを誤差項という。

2つの因子 \( A,B \) と因子 \( A \) の \( \ell \ (\ell≧2) \) 個の水準および因子 \( B \) の \( m \ (m≧2) \) 個の水準が次の2元配置分散分析モデルに従っているとする。

$$ y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+\gamma_{ij}+\varepsilon_{ijk}, \quad (i=1,\cdots,\ell, \ j=1,\cdots,m, \ k=1,\cdots,n(i,j)) $$

ただし、話を簡単にするために

$$ n(i,j)=n $$

として、

$$ N=\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{j=1}^mn(i,j)=n\ell m $$

とおく。ここで、因子 \( A \) の \( i \) 番目の水準と因子 \( B \) の \( j \) 番目の水準から抽出した \( k \) 個目のデータの実現値を

$$ y_{ijk} \quad (i=1,\cdots,\ell, \ j=1,\cdots,m, \ k=1,\cdots,n) $$

として、次のような分散分析表になったとする。

ここで、

$$ \overline{y}_{i\cdot\cdot}=\frac{1}{mn}\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^ny_{ijk}, \quad \overline{y}_{\cdot j\cdot}=\frac{1}{\ell n}\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{k=1}^ny_{ijk} $$

$$ \overline{y}_{ij\cdot}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^ny_{ijk}m, \quad \overline{y}_{\cdot \cdot\cdot}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^ny_{ijk} $$

$$ Q_T=\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n(y_{ijk}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2 $$

$$ Q_{\alpha}=nm\sum_{i=1}^{\ell}(\overline{y}_{i\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2 $$

$$ Q_{\beta}=n\ell \sum_{j=1}^m(\overline{y}_{\cdot j\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2 $$

$$ Q_{\gamma}=n\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{j=1}^m(\overline{y}_{ij\cdot}-\overline{y}_{i\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot j\cdot}+\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2 $$

$$ Q_e=\sum_{i=1}^{\ell}\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n(y_{ijk}-\overline{y}_{ij\cdot})^2 $$

このとき、仮説

$$ H_0^{\alpha}:\alpha_1=\cdots=\alpha_{\ell}=0, \quad H_1^{\alpha}:H_0^{\alpha}の否定 $$

$$ H_0^{\beta}:\beta_1=\cdots=\beta_m=0, \quad H_1^{\beta}:H_0^{\beta}の否定 $$

$$ H_0^{\gamma}:\gamma_{ij}=0 \ (i=1,\cdots,\ell, \ j=1,\cdots,m), \quad H_1^{\gamma}:H_0^{\gamma}の否定 $$

に対して、有意水準 \( 0.05,0.01 \) の効果 \( \alpha_i,\beta_j,\gamma_{ij} \) の棄却域 \( R \) は次のようになる。

検定統計量を

$$ F_{\alpha}=\frac{V_{\alpha}^2}{\hat{\sigma}^2}, \quad F_{\beta}=\frac{V_{\beta}^2}{\hat{\sigma}^2}, \quad F_{\gamma}=\frac{V_{\gamma}^2}{\hat{\sigma}^2} $$

とするとき、 \( F_{\alpha} \) の棄却域は

$$ 有意水準0.05 \quad R=\{ F_{\alpha}>F_{0.05}(\ell-1,N-\ell m)\} $$

$$ 有意水準0.01 \quad R=\{ F_{\alpha}>F_{0.01}(\ell-1,N-\ell m)\} $$

( \( F_{\beta},F_{\gamma} \) も同様である)