高校数学・大学数学積分トレーニング(指数・対数関数編)

指数関数の積分公式

$$ \int a^xdx=\frac{a^x}{\log a}+C $$

より、

$$ \int 2^xdx=\frac{2^x}{\log 2}+C $$

$$ u=-x, \quad du=-dx $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \int \frac{1}{e^x}dx=\int e^{-x}dx=-\int e^udu=-e^u+C=-e^{-x}+C $$

部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int xe^xdx&=\int x(e^x)’dx=xe^x-\int x’e^x dx \\ &=xe^x-\int e^x dx=xe^x-e^x+C \end{align} $$

部分積分

$$ \int_a^bf(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]^b_a-\int_a^bf'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int_0^2 xe^{-x}dx&=-\int_0^2 x(e^{-x})’dx=-[xe^{-x}]^2_0+\int_0^2 x’e^{-x} dx \\ &=-2e^{-2}+\int_0^2 e^{-x} dx=-2e^{-2}-[e^{-x}]^2_0=1-\frac{3}{e^2} \end{align} $$

部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int (x-1)e^{-x}dx&=-\int (x-1)(e^{-x})’dx=-(x-1)e^{-x}+\int (x-1)’e^{-x}dx \\ &=-(x-1)e^{-x}+\int e^{-x}dx=-(x-1)e^{-x}-e^{-x}+C \\ &=-xe^{-x}+C \end{align} $$

$$ \begin{align} \int_0^1xe^{-x^2}dx&=-\frac{1}{2}\int_0^1(e^{-x^2})’dx=-\frac{1}{2}[e^{-x^2}]^1_0 \\ &=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{e}\right) \end{align} $$

部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int x^2e^{-x}dx&=-\int x^2(e^{-x})’dx=-x^2e^{-x}+\int (x^2)’e^{-x}dx \\ &=-x^2e^{-x}+2\int xe^{-x} dx=-x^2e^{-x}-2\int x(e^{-x})’ dx \\ &=-x^2e^{-x}-2xe^{-x}+2\int e^{-x}dx \\ &=-x^2e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}+C \\ &=-(x^2+2x+2)e^{-x}+C \end{align} $$

部分積分

$$ \int_a^bf(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]^b_a-\int_a^bf'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int_{-1}^1(x^2+1)e^{-x}dx&=-\int_{-1}^1(x^2+1)(e^{-x})’dx \\ &=-\left[ (x^2+1)e^{-x^2} \right]^1_{-1}+\int_{-1}^1(x^2+1)’e^{-x}dx \\ &=-(2e^{-1}-2e)+2\int_{-1}^1xe^{-x}dx \\ &=-(2e^{-1}-2e)-2\int_{-1}^1x(e^{-x})’dx \\ &=-(2e^{-1}-2e)-2\left\{ \left[ xe^{-x} \right]^1_{-1}-\int_{-1}^1x’e^{-x}dx \right\} \\ &=-(2e^{-1}-2e)-2(e^{-1}+e)+2\int_{-1}^1e^{-x}dx \\ &=-4e^{-1}-2\left[ e^{-x} \right]^1_{-1}=2e-\frac{6}{e} \end{align} $$

部分積分

$$ \int_a^bf(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]^b_a-\int_a^bf'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int_1^2(x^2+2x)e^{2x}dx&=\frac{1}{2}\int_1^2(x^2+2x)(e^{2x})’dx \\ &=\frac{1}{2}\left[ (x^2+2x)e^{2x} \right]^2_1-\frac{1}{2}\int_1^2(2x+2)e^{2x}dx \\ &=\frac{1}{2}(8e^4-3e^2)-\frac{1}{2}\int_1^2(x+1)(e^{2x})’dx \\ &=\frac{1}{2}(8e^4-3e^2)-\frac{1}{2}\left[ (x+1)e^{2x} \right]^2_1+\frac{1}{2}\int_1^2e^{2x}dx \\ &=\frac{1}{2}(8e^4-3e^2)-\frac{1}{2}(3e^4-2e^2)+\frac{1}{4}\left[ e^{2x} \right]^2_1 \\ &=\frac{1}{4}(11e^4-3e^2) \end{align} $$

部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int x^3e^xdx&=x^3e^x-3\int x^2e^x dx \\ &=x^3e^x-3x^2e^x+6\int xe^xdx \\ &=(x^3-3x^2)e^x+6xe^x-6\int e^xdx \\ &=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+C \end{align} $$

$$ u=x^2, \quad du=2xdx $$

とおいて、置換積分を行い、部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int x^3e^{x^2}dx&=\frac{1}{2}\int ue^u du=\frac{1}{2}ue^u-\frac{1}{2}\int e^u du \\ &=\frac{1}{2}x^2e^{x^2}-\frac{1}{2}e^u+C \\ &=\frac{1}{2}e^{x^2}(x^2-1)+C \end{align} $$

$$ \begin{align} \int \left( \frac{e^x+e^{-x}}{2} \right)^2 dx&=\frac{1}{4}\int (e^{2x}+2+e^{-2x})dx \\ &=\frac{1}{4}\int e^{2x}dx+\frac{1}{2}\int 1 dx+\frac{1}{4}\int e^{-2x}dx \\ &=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{2}e^{2x}+2x-\frac{1}{2}e^{-2x} \right)+C \end{align} $$

$$ u=e^x, \quad x=\log u, \quad dx=\frac{1}{u}du $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \int \frac{1}{1+e^x}dx=\int \frac{1}{u(1+u)}du $$

ここで、

$$ \frac{1}{u(1+u)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{1+u} $$

と変形できるので、

$$ \begin{align} \int \frac{1}{1+e^x}dx&=\int \frac{1}{u}du-\int \frac{1}{1+u}du \\ &=\log u-\log (1+u)+C \\ &=x-\log (1+e^x)+C \end{align} $$

$$ u=e^x, \quad x=\log u, \quad dx=\frac{1}{u}du $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \begin{align} \int \frac{1}{1+e^{-x}}dx&=\int \frac{1}{u(1+\frac{1}{u})}du=\int \frac{1}{u+1}du \\ &=\log (u+1)+C \\ &=\log (e^x+1)+C \end{align} $$

$$ \begin{align} \int \frac{e^{2x}-1}{e^x-1}dx&=\int \frac{(e^x-1)(e^x+1)}{e^x-1}dx \\ &=\int e^xdx+\int 1 dx=e^x+x+C \end{align} $$

$$ \begin{align} \int \frac{e^{3x}-1}{e^x-1}dx&=\int \frac{(e^x-1)(e^{2x}+e^x+1)}{e^x-1}dx \\ &=\int e^{2x}dx+\int e^xdx+\int 1 dx \\ &=\frac{1}{2}e^{2x}+e^x+x+C \end{align} $$

$$ u=e^x, \quad x=\log u, \quad dx=\frac{1}{u}du $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \begin{align} \int \frac{e^{3x}-1}{e^{2x}-1}dx&=\int \frac{u^3-1}{u(u^2-1)}du \\ &=\int \left( 1+\frac{1}{u^2+u} \right) du \\ &=\int du+\int \frac{1}{u}du-\int \frac{1}{u+1}du \\ &=u+\log u-\log(u+1)+C \\ &=e^x+x-\log(e^x+1)+C \end{align} $$

$$ u=e^x, \quad x=\log u, \quad dx=\frac{1}{u}du $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \begin{align} \int \frac{e^x+1}{e^x-e^{-x}}dx&=\int \frac{u+1}{u(u-\frac{1}{u})}du=\int \frac{u+1}{u^2-1}du \\ &=\int\frac{1}{u-1}du=\log |u-1|+C \\ &=\log|e^x-1|+C \end{align} $$

$$ u=e^x, \quad x=\log u, \quad dx=\frac{1}{u}du $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \begin{align} \int \frac{2e^x+1}{e^x-e^{-x}}dx&=\int \frac{2u+1}{u(u-\frac{1}{u})}du=\int \frac{2u+1}{u^2-1}du \\ &=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u+1}du+\frac{3}{2}\int \frac{1}{u-1}du \\ &=\frac{1}{2}\log(u+1)+\frac{3}{2}\log |u-1|+C \\ &=\frac{1}{2}\log (e^x+1)|e^x-1|^3+C \end{align} $$

$$ \begin{align} \int \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}dx&=\int \frac{(e^x+e^{-x})’}{e^x+e^{-x}}dx \\ &=\log(e^x+e^{-x})+C \end{align} $$

$$ u=e^x+1, \quad du=e^x dx $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \begin{align} \int \frac{e^x}{(e^x+1)^2}dx&=\int \frac{1}{u}du=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{e^x+1}+C \end{align} $$

$$ u=\frac{3}{2}x, \quad du=\frac{3}{2} dx, \quad u:0\to 3 $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \begin{align} \int_0^2 e^x\sqrt{e^x}dx&=\frac{2}{3}\int_0^3 e^u du=\frac{2}{3}(e^3-1) \end{align} $$

$$ u=\sqrt{1+e^x}, \quad x=\log (u^2-1), \quad dx=\frac{2u}{u^2-1}du $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \begin{align} \int \sqrt{1+e^x}dx&=2\int \frac{u^2}{u^2-1}du+2\int 1du+2\int \frac{1}{u^2-1}du \\ &=2u+\int \frac{1}{u-1}du-\int \frac{1}{u+1}du \\ &=2u+\log(u-1)-\log (u+1)+C \\ &=2\sqrt{1+e^x}+\log \frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C \end{align} $$

$$ \sqrt{1+\left( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right)^2}=\sqrt{\frac{4+e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}}=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$

と変形できるので、

$$ \begin{align} \int_0^1 \sqrt{1+\left( \frac{e^x-e^{-x}}{2} \right)^2} dx&=\frac{1}{2}\int_0^1 e^xdx+\frac{1}{2}\int_0^1 e^{-x}dx \\ &=\frac{1}{2}\left( e-\frac{1}{e} \right) \end{align} $$

部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int \log x dx&=\int (x)’\log x dx=x\log x-\int 1dx \\ &=x\log x-x+C \end{align} $$

部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int (\log x)^2 dx&=\int (x)'(\log x)^2 dx=x(\log x)^2-2\int \log x dx \\ &=x(\log x)^2-2\int (x)’\log x dx=x(\log x)^2-2x\log x+2\int 1 dx \\ &=x(\log x)^2-2x\log x+2x+C \end{align} $$

$$ u=x+1, \quad du=dx, \quad u:1\to 2 $$

とおいて、置換積分を行い、部分積分

$$ \int_a^bf(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]^b_a-\int_a^bf'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int_0^1 \log (x+1) dx&=\int_1^2\log u du \\ &=[u\log u]^2_1-\int_1^2 1du \\ &=2\log 2-[u]^2_1=2\log 2-1 \end{align} $$

部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int \log(x^2-4) dx&=\int (x)’\log(x^2-4) dx \\ &=x\log(x^2-4)-2\int \frac{x^2}{x^2-4}dx \end{align} $$

ここで、

$$ \frac{x^2}{x^2-4}=1+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2} $$

と変形できるので、

$$ \begin{align} &\int \log(x^2-4) dx \\ &=x\log(x^2-4)-2\int 1 dx-2\int \frac{1}{x-2}dx+2\int \frac{1}{x+2}dx \\ &=x\log(x^2-4)-2x-2\log|x-2|+2\log|x+2|+C \\ &=x\log(x^2-4)-2x-2\log\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C \end{align} $$

$$ \log \frac{x+1}{2x}=\log (x+1)-\log x-\log 2 $$

と変形できるので、部分積分

$$ \int_a^bf(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]^b_a-\int_a^bf'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int_1^2 \log \frac{x+1}{2x} dx&=\int_1^2\log(x+1)dx-\int_1^2\log xdx-\int_1^2 \log 2 dx \\ &=\left[ x\log (x+1) \right]^2_1-\int_1^2\frac{x}{x+1}dx-\left[ x\log x \right]^2_1+\int_1^2 1dx-\log 2 \\ &=2\log 3-\log 2-\int_1^2 1dx+\int_1^2\frac{1}{x+1}dx-2\log 2+1-\log 2 \\ &=2\log 3-4\log 2+\left[ \log (x+1) \right]^2_1=\log \frac{27}{32} \end{align} $$

部分積分

$$ \int_a^bf(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]^b_a-\int_a^bf'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int_0^1 x\log (x+1) dx&=\int_0^1\left( \frac{1}{2}x^2 \right)’\log (x+1) dx \\ &=\left[ \frac{1}{2}x^2\log (x+1) \right]^1_0-\frac{1}{2}\int_0^1\frac{x^2}{x+1}dx \\ &=\frac{1}{2}\log 2-\frac{1}{2}\int_0^1\left\{ (x-1)+\frac{1}{x+1} \right\} dx \\ &=\frac{1}{2}\log 2-\frac{1}{2}\int_0^1xdx+\frac{1}{2}\int_0^11dx-\frac{1}{2}\int_0^1 \frac{1}{x+1}dx=\frac{1}{4} \end{align} $$

部分積分

$$ \int_a^bf(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]^b_a-\int_a^bf'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int_1^e x\log (ex) dx&=\int_1^e\left( \frac{1}{2}x^2 \right)’\log (ex) dx \\ &=\left[ \frac{1}{2}x^2\log (ex) \right]^e_1-\frac{1}{2}\int_1^exdx=\frac{3}{4}e^2-\frac{1}{4} \end{align} $$

部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int x\log x dx&=\int \left( \frac{1}{2}x^2\right)’\log x dx \\ &=\frac{1}{2}x^2\log x-\frac{1}{2}\int x dx \\ &=\frac{1}{2}x^2\log x-\frac{1}{4}x^2+C \end{align} $$

$$ \int \frac{dx}{x\log x}=\int \frac{(\log x)’}{\log x}dx=\log|\log x|+C $$

$$ u=\log x, \quad du=\frac{1}{x} dx, \quad u:1\to 2 $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \int_e^{e^2} \frac{\log x}{x} dx=\int_1^2 udu=\left[ \frac{1}{2}u^2 \right]^2_1=\frac{3}{2} $$

部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int x^2\log x dx&=\int \left( \frac{1}{3}x^3\right)’\log x dx \\ &=\frac{1}{3}x^3\log x-\frac{1}{3}\int x^2 dx \\ &=\frac{1}{3}x^3\log x-\frac{1}{9}x^3+C \end{align} $$

部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int x(\log x)^2 dx&=\int \left( \frac{1}{2}x^2 \right)'(\log x)^2dx \\ &=\frac{1}{2}x^2(\log x)^2-\int x\log xdx \\ &=\frac{1}{2}x^2(\log x)^2-\int \left( \frac{1}{2}x^2 \right)’\log x dx \\ &=\frac{1}{2}x^2(\log x)^2-\frac{1}{2}x^2\log x+\frac{1}{2}\int x dx \\ &=\frac{1}{2}x^2(\log x)^2-\frac{1}{2}x^2\log x+\frac{1}{4}x^2+C \end{align} $$

部分積分

$$ \int_a^bf(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]^b_a-\int_a^bf'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int_1^e x^3\log x dx&=\int_1^e \left( \frac{1}{4}x^4\right)’\log xdx \\ &=\left[\frac{1}{4}x^4\log x \right]^e_1-\frac{1}{4}\int_1^ex^3dx \\ &=\frac{1}{4}e^4-\frac{1}{4}\left[ \frac{1}{4}x^4 \right]^e_1=\frac{3e^4+1}{16} \end{align} $$

部分積分

$$ \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int \frac{\log x}{x^3} dx&=\int \left( -\frac{1}{2}x^{-2} \right)’\log x dx \\ &=-\frac{\log x}{2x^2}+\frac{1}{2}\int x^{-3}dx \\ &=-\frac{2\log x+1}{4x^2}+C \end{align} $$

$$ u=\log x, \quad du=\frac{1}{x} dx $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \begin{align} \int \frac{(\log x)^3}{x} dx&=\int u^3 du=\frac{1}{4}u^4+C=\frac{1}{4}(\log x)^4+C \end{align} $$

$$ u=\sqrt{x}, \quad x=u^2, \quad dx=2udu $$

とおいて、置換積分を行うと、

$$ \begin{align} \int \sqrt{x}\log \sqrt{x} dx&=\int u\log u\{ 2udu\}=2\int u^2\log udu \\ &=2\int \left( \frac{1}{3}u^3 \right)’\log u du=\frac{2}{3}u^3\log u-\frac{2}{3}\int u^2 du \\ &=\frac{2}{3}u^3\log u-\frac{2}{9}u^3+C \\ &=\frac{1}{3}x^{\frac{3}{2}}\log x-\frac{2}{9}x^{\frac{3}{2}}+C \end{align} $$

部分積分

$$ \int_a^bf(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]^b_a-\int_a^bf'(x)g(x)dx $$

を行うと、

$$ \begin{align} \int_1^{e^2} \frac{\log x}{\sqrt{x}} dx&=\int_1^{e^2}(2x^{\frac{1}{2}})’\log x dx \\ &=\left[ 2x^{\frac{1}{2}}\log x \right]^{e^2}_1-2\int_1^{e^2}x^{-\frac{1}{2}}dx \\ &=2e\log e^2-2[2x^{\frac{1}{2}}]^{e^2}_1=4 \end{align} $$