こんにちは、ひかりです。
今回は微分方程式から求積法3(1階線形微分方程式・ベルヌーイの微分方程式)について解説していきます。
この記事では以下のことを紹介します。
- 1階線形微分方程式について
- ベルヌーイの微分方程式について
1階線形微分方程式
まず、1階線形微分方程式の求積法について紹介していきます。
微分方程式が
$$ y’+p(x)y=q(x) $$
という形で表されるとき、1階線形微分方程式という。
とくに、 \( q(x)\equiv 0 \) であるものを同次(斉次)1階線形微分方程式といい、 \( q(x)\not\equiv 0 \) であるものを非同次(非斉次)1階線形微分方程式という。
同次1階線形微分方程式
まずは同次1階線形微分方程式
$$ y’+p(x)y=0 \tag{1} $$
を解くことを考えてみましょう。これは
$$ y’=-p(x)y $$
より、変数分離形の微分方程式となるので、これを解きます。
まず、 \( g(y)=y \) とおくと、定数 \( y_0=0 \) は \( g(y_0)=0 \) をみたすので、定数関数
$$ y\equiv 0 $$
はこの微分方程式の解となります。
よって、 \( y\not=0 \) とすると、
$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=-p(x) $$
と変形でき、両辺 \( x \) で積分をすると、
$$ \int\frac{1}{y}dy=-\int p(x) dx $$
となります。
$$ \int\frac{1}{y}dy=\log|y|+C_1 $$
より、
$$ \begin{align} &\log|y|=-\int p(x) dx+C_2 \quad (C_2:任意定数) \end{align} $$
であるので、これを \( y \) について解くと、
$$ y=\pm e^{-\int p(x) dx+C_2}=Ce^{-\int p(x) dx} \quad (C=\pm e^{C_2}\not=0:任意定数) $$
\( y\equiv 0 \) は解であったが、これは \( C=0 \) の場合に相当します。
よって、同次1階線形微分方程式の一般解は
$$ y=Ce^{-\int p(x) dx} \quad (C:任意定数) $$
となります。
ここで、非同次の一般解を求める考察として、この一般解の両辺に \( e^{\int p(x)dx} \) をかけると、
$$ ye^{\int p(x)dx}=C \quad (C:任意定数) \tag{2} $$
となります。これを \( x \) で微分すると、
$$ (y’+p(x)y)e^{\int p(x)dx}=0 $$
となり、方程式(1)の両辺に \( e^{\int p(x)dx} \) をかけたものとなります。
非同次1階線形微分方程式
今度は、非同次1階線形微分方程式
$$ y’+p(x)y=q(x) \tag{3} $$
を解くことを考えてみましょう。
ここでは、変数 \( x \) の不定積分を \( \displaystyle \int^x f(\xi)d\xi \) と表します。
上の考察をもとにして、方程式(3)の両辺に \( \displaystyle \exp\left( \int^x p(\xi)d\xi \right)=e^{\int^x p(\xi)d\xi} \) をかけると、
$$ \begin{align} &\exp\left( \int^x p(\xi)d\xi \right) q(x) \\ &=\exp\left( \int^x p(\xi)d\xi \right)y'(x)+p(x)\exp\left( \int^x p(\xi)d\xi \right)y(x) \\ &=\exp\left( \int^x p(\xi)d\xi \right)y'(x)+\left\{ \exp\left( \int^x p(\xi)d\xi \right) \right\}’ y(x) \\ &=\left\{ \exp\left( \int^x p(\xi)d\xi \right) y(x) \right\}’ \end{align} $$
よって、最両辺 \( x \) で積分をすると、
$$ \exp\left( \int^x p(\xi)d\xi \right) y(x)=\int^x \exp\left( \int^{\xi} p(\eta)d\eta \right) q(\xi) d\xi+C $$
したがって、非同次1階線形微分方程式の一般解は
$$ y(x)=\exp\left( -\int^x p(\xi)d\xi \right)\left\{ \int^x \exp\left( \int^{\xi} p(\eta)d\eta \right) q(\xi) d\xi+C \right\} \quad (C:任意定数) \tag{4} $$
また、この一般解の両辺に \( e^{\int p(x)dx} \) をかけると、
$$ ye^{\int p(x)dx}=u(x) $$
となります。ここで、
$$ u(x)=\int^x \exp\left( \int^{\xi} p(\eta)d\eta \right) q(\xi) d\xi+C, \quad (C:任意定数) $$
式(2)と見比べてみると、同次方程式( \( q(x)\equiv 0 \) )の場合は \( ye^{\int p(x)dx} \) は定数でしたが、非同次方程式( \( q(x)\not\equiv 0 \))の場合は \( ye^{\int p(x)dx} \) は \( x \) の関数となりました。
つまり、非同次方程式の一般解は \( y=e^{-\int p(x)dx}u(x) \) となり、同次方程式の解 \( y=Ce^{-\int p(x)dx} \) の定数を \( x \) の関数に置き換えた形で求めたことになります。
したがって、この解法のことを定数変化法といい、一般解(4)のことを定数変化公式といいます。
(1) 次の微分方程式を考える。
$$ y’+3y=e^{2x} $$
両辺に
$$ e^{\int^x p(\xi)d\xi}=e^{\int^x 3d\xi}=e^{3x} $$
をかけると、
$$ \{ e^{3x}y \}’=e^{3x}e^{2x} $$
となるので、両辺 \( x \) で積分すると、
$$ e^{3x}y=\int e^{5x}dx=\frac{1}{5}e^{5x}+C \quad (C:任意定数) $$
したがって、この方程式の一般解は
$$ y=\frac{1}{5}e^{2x}+Ce^{-3x} \quad (C:任意定数) $$
(2) 次の微分方程式を考える。
$$ x^2y’-y=x^2e^{x-\frac{1}{x}}, \quad x\not=0 $$
\( x\not=0 \) より、両辺 \( x^2 \) で割ると、
$$ y’-\frac{1}{x^2}y=e^{x-\frac{1}{x}} $$
よって、この両辺に
$$ e^{\int^x p(\xi)d\xi}=e^{-\int^x \frac{1}{\xi^2} d\xi}=e^{\frac{1}{x}} $$
をかけると、
$$ \{ e^{\frac{1}{x}}y \}’=e^{x-\frac{1}{x}}e^{\frac{1}{x}} $$
となるので、両辺 \( x \) で積分すると、
$$ e^{\frac{1}{x}}y=\int e^x dx=e^x+C \quad (C:任意定数) $$
したがって、この方程式の一般解は
$$ y=e^{x-\frac{1}{x}}+Ce^{-\frac{1}{x}} \quad (C:任意定数) $$
ベルヌーイの微分方程式
次に、ベルヌーイの微分方程式について考えてみましょう。
微分方程式が
$$ y’+p(x)y=q(x)y^k, \quad (k:定数) $$
という形で表されるとき、ベルヌーイの微分方程式という。
これは次のように場合分けして解くことになります。
-
まず、 \( k>0 \) のときは \( y\equiv 0 \) が解になることに注意してください。
- \( k=0 \) または \( k=1 \) のとき
-
\( k=0 \) のときは
$$ y’+p(x)y=0 $$
\( k=1 \) のときは
$$ y’+(p(x)-q(x))y=0 $$
となるので、どちらも同次1階線形微分方程式となります。
- \( k\not=0,1 \) のとき
-
このときは方程式の両辺を \( y^k \) で割ると、
$$ y^{-k}y’+p(x)y^{1-k}=q(x) \tag{5} $$
ここで、 \( z=y^{1-k} \) とおくと、
$$ z’=(y^{1-k})’=(1-k)y^{-k}y’ $$
であるので、式(5)の両辺に \( 1-k \) をかけると、
$$ z’+(1-k)p(x)z=(1-k)q(x) $$
これは非同次1階線形微分方程式となります。
(1) 次の微分方程式を考える。
$$ y’+xy=xy^3 $$
まず、 \( y\equiv 0 \) は解であることに注意する。
よって、 \( y\not=0 \) として、方程式の両辺を \( y^3 \) で割ると、
$$ y^{-3}y’+xy^{-2}=x $$
\( z=y^{-2} \) とおくと、
$$ z’=(y^{-2})’=-2y^{-3}y’ $$
であるので、
$$ z’-2xz=-2x $$
これは非同次1階線形微分方程式であるのでこれを解く。両辺に
$$ e^{\int^x p(\xi)d\xi}=e^{\int^x (-2x)d\xi}=e^{-x^2} $$
をかけると、
$$ \{ e^{-x^2}z \}’=-2xe^{-x^2} $$
となるので、両辺 \( x \) で積分すると、
$$ e^{-x^2}z=\int (-2xe^{-x^2})dx=e^{-x^2}+C \quad (C:任意定数) $$
よって、
$$ z=1+Ce^{x^2} \quad (C:任意定数) $$
であるので、この方程式の一般解は
$$ y^2(1+Ce^{x^2})=1, \ y\equiv 0 \quad (C:任意定数) $$
(2) 次の微分方程式を考える。
$$ y’-\frac{2y}{x}=\frac{2x}{\sqrt{y}} $$
まず、方程式の両辺を \( y^{-\frac{1}{2}} \) で割ると、
$$ y^{\frac{1}{2}}y’-\frac{2}{x}y^{\frac{3}{2}}=2x $$
\( z=y^{\frac{3}{2}} \) とおくと、
$$ z’=(y^{\frac{3}{2}})’=\frac{3}{2}y^{\frac{1}{2}}y’ $$
であるので、
$$ z’-\frac{3}{x}z=3x $$
これは非同次1階線形微分方程式であるのでこれを解く。両辺に
$$ e^{\int^x p(\xi)d\xi}=e^{\int^x (-\frac{3}{x})d\xi}=e^{-3\log |x|}=e^{\log |x|^{-3}} $$
より、 \( x^{-3} \) をかけると、
$$ \{ x^{-3}z \}’=3x^{-2} $$
となるので、両辺 \( x \) で積分すると、
$$ x^{-3}z=\int 3x^{-2}dx=-\frac{3}{x}+C \quad (C:任意定数) $$
よって、
$$ z=-3x^2+Cx^3 \quad (C:任意定数) $$
であるので、この方程式の一般解は
$$ y^{\frac{3}{2}}=-3x^2+Cx^3, \quad (C:任意定数) $$
今回はここまでです。お疲れ様でした。また次回にお会いしましょう。