高校数学(数学Ⅲ)15：媒介変数表示と極座標変換

(1)　\( \begin{cases} x=3t^2 \\ y=6t \end{cases} \) をみたす点 \( P=(x,y) \) は、どのような曲線上を動くかを調べる。

第2式より、 \( t=\frac{y}{6} \) であるので、第1式に代入すると、 \( x=3\left( \frac{y}{6} \right)^2 \)

よって、 \( x=\frac{y^2}{12} \) なので、 \( y^2=12x \)

したがって、点 \( P \) は放物線 \( y^2=12x \) 上を動く。

(2)　\( \begin{cases} x=a\cos t \\ y=b\sin t \end{cases} \) をみたす点 \( P=(x,y) \) は、どのような曲線上を動くかを調べる。

それぞれ、 \( \frac{x}{a}=\cos t, \ \frac{y}{b}=\sin t \) となる。

ここで、 \( \cos^2 t+\sin^2t=1 \) であるので、

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

したがって、点 \( P \) は楕円 \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \) 上を動く。

媒介変数表示 \( \begin{cases} x=2\cos t+1 \\ y=2\sin t+3 \end{cases} \) はどのような曲線を表すかを調べる。

これは

$$ \begin{cases} x=2\cos t \\ y=2\sin t \end{cases} \tag{1} $$

を \( x \) 軸方向に \( 1 \) 、 \( y \) 軸方向に \( 3 \) だけ平行移動した曲線となっている。

式(1)は例1(2)より、 \( \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1 \) という曲線を表す。

これは、つまり半径2の円 \( x^2+y^2=4 \) である。

よって、求めたい式の曲線は半径2の円を \( x \) 軸方向に \( 1 \) 、 \( y \) 軸方向に \( 3 \) だけ平行移動した円

$$ (x-1)^2+(y-3)^2=4 $$

となっている。

極座標が \( (2,\frac{\pi}{3}) \) である点 \( P \) の直交座標 \( (x,y) \) を求める。

$$ x=r\cos \theta=2\cos \frac{\pi}{3}=1 $$

$$ y=r\sin\theta=2\sin \frac{\pi}{3}=\sqrt{3} $$

であるので、 \( P \) の直交座標は \( (1,\sqrt{3}) \)

直交座標が \( (-1,1) \) である点 \( P \) の極座標 \( (r,\theta) \) を求める。

$$ r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2} $$

であるので

$$ \cos\theta=\frac{x}{r}=\frac{-1}{\sqrt{2}}, \ \sin\theta=\frac{y}{r}=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

\( 0≦ \theta<2\pi \) で考えると、 \( \theta=\frac{3}{4}\pi \)

よって、 \( P \) の極座標は \( (\sqrt{2},\frac{3}{4}\pi) \)

(1)　極方程式 \( r=2\cos\theta \) の表す図形を考える。

両辺に \( r \) をかけると、

$$ r^2=2r\cos\theta $$

\( r^2=x^2+y^2, \ x=r\cos\theta \) より、

$$ x^2+y^2=2x $$

まとめると、

$$ (x-1)^2+y^2=1 $$

よって、中心 \( (1,0) \) 、半径 \( 1 \) の円を表す。

(2)　極方程式 \( r=\frac{1}{\cos\theta} \) の表す図形を考える。

$$ x=r\cos\theta=\frac{\cos\theta}{\cos\theta}=1 $$

$$ y=r\sin\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta $$

より、直線 \( x=1 \) を表す。

(1)　式(4)において、 \( e=2, \ d=1 \) とすると、

$$ r=\frac{2}{1-2\cos \theta} \tag{5} $$

この極方程式の表す図形を考える。

分母をはらってまとめると、 \( r=2+2r\cos\theta \)

両辺を2乗すると、 \( r^2=(2+2r\cos \theta)^2 \)

ここで、 \( r^2=x^2+y^2, \ x=r\cos\theta \) より

$$ x^2+y^2=(2+2x)^2 $$

まとめると、式(5)は双曲線 \( 9(x+\frac{4}{3})^2-3y^2=4 \) を表す。

(2)　放物線 \( y^2=4x+4 \) を極方程式で表す。

放物線上の点 \( (x,y) \) を極座標 \( (r,\theta) \) で表すと、 \( x=r\cos\theta, \ y=r\sin\theta \) より、

$$ \begin{align} &(r\sin\theta)^2=4r\cos\theta+4 \tag{6} \\ &r^2(1-\cos^2\theta)=4r\cos\theta+4 \\ &r^2=r^2\cos^2\theta+4r\cos\theta+4 \\ &r^2=(r\cos\theta+2)^2 \tag{7} \end{align} $$

まず、式(6)より、 \( 4r\cos\theta+4≧ 0 \) であるので、 \( r\cos\theta+1≧ 0 \)

よって、

$$ r\cos\theta+2=(r\cos\theta+1)+1>0 $$

したがって、 \( r>0, \ r\cos\theta+2>0 \) より、式(7)の両辺の2乗を払うことができて、

$$ r=r\cos\theta+2 $$

\( r \) についてまとめると、求める極方程式は

$$ r=\frac{2}{1-\cos\theta} $$