曲線・曲面論02：弧長パラメータによる平面曲線の曲率の定義

2023年12月22日2024年3月25日

こんにちは、ひかりです。

今回は曲線・曲面論から弧長パラメータによる平面曲線の曲率の定義について解説していきます。

この記事では以下のことを紹介します。

平面曲線の長さについて
弧長パラメータについて
弧長パラメータによる平面曲線の曲率の定義について

平面曲線の長さ

微分積分学15で紹介した平面曲線の長さについて再び考えてみましょう。

定理1 (平面曲線の長さ)

$ f $ を $ [a,b] $ 上微分可能、 $ \sqrt{1+(f’)^2} $ を $ [a,b] $ 上積分可能とする。

( $ f\in C^1[a,b] $ であれば十分である)

このとき、 $ xy $ 平面内の曲線 $ y=f(x) \ (a≦x≦b) $ の長さ $ \ell $ は

\[ \ell=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx \]

定理1の証明(気になる方だけクリックしてください)

$$ \Delta:a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b $$

を $ [a,b] $ の分割として、点 $ (x_j,f(x_j)) $ を結ぶ折れ線で曲線 $ f $ を近似します。すると、

$$ \begin{align} 折れ線の長さ&=\sum_{j=1}^n\sqrt{(x_j-x_{j-1})^2+(f(x_j)-f(x_{j-1}))^2} \\ &=\sum_{j=1}^n\sqrt{1+\left( \frac{f(x_j)-f(x_{j-1})}{x_j-x_{j-1}} \right)^2} \delta_j \quad (\delta_j=x_j-x_{j-1}) \end{align} $$

平均値の定理より、ある $ \xi_j\in (x_{j-1},x_j) $ が存在して、

$$ \frac{f(x_j)-f(x_{j-1})}{x_j-x_{j-1}}=f'(\xi_j) $$

したがって、

$$ 折れ線の長さ=R\left[\{\xi_j\},\Delta,\sqrt{1+(f’)^2}\right]\to \int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}dx \ (n\to \infty) $$

ここで、 $ R[\{\xi_j\},\Delta,f] $ は $ \{\xi_j\} $ を選んだときの $ f $ のリーマン和です。

さらに媒介変数表示された曲線の長さは次のようになります。

定理2 (媒介変数表示された曲線の長さ)

$ \varphi,\psi $ を $ [\alpha,\beta] $ 上微分可能、 $ \sqrt{(\dot{\varphi})^2+(\dot{\psi})^2} $ を $ [\alpha,\beta] $ 上積分可能とする。

(ここで、 $ \dot{}=\frac{d}{dt} $ である。 $ \varphi,\psi\in C^1[\alpha,\beta] $ であれば十分である)

このとき、

\[ x=\varphi(t), \ y=\psi(t), \quad (\alpha≦t≦\beta) \]

で表される $ xy $ 平面内の曲線の長さ $ \ell $ は

\[ \ell=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\dot{\varphi}(t))^2+(\dot{\psi}(t))^2}dt \]

定理2の証明(気になる方だけクリックしてください)

必要であれば、 $ t $ の範囲を狭くして座標を回転させることにより、曲線が $ y=f(x) \ (a≦x≦b) $ の形で表されているとします。

$$ \psi(t)=f(\varphi(t)), \ \psi(\alpha)=a, \ \psi(\beta)=b, \ \dot{\psi}(t)=\frac{df}{dx}(\varphi(t))\cdot \dot{\varphi}(t) $$

とすると、定理1より

$$ \begin{align} \ell&=\int_a^b\sqrt{1+\left( \frac{df}{dx}(x)\right)^2}dx=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{1+\left( \frac{df}{dx}(\varphi(t))\right)^2}\dot{\varphi}(t)dt \\ &=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\dot{\varphi}(t))^2+\left( \frac{df}{dx}(\varphi(t))\cdot \dot{\varphi}(t)\right)^2}dt=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\dot{\varphi}(t))^2+(\dot{\psi}(t))^2}dt \end{align} $$

弧長パラメータ

曲線が $ y=f(x) $ で表されているとして、

$$ s=s(x)=\int_a^x\sqrt{1+(f'(x))^2}dx $$

とします。

このとき、逆関数を $ x=x(s), \ y(s)=f(x(s)) $ とおくことにより、曲線は $ s $ をパラメータとして、

$$ \begin{cases} x=x(s) \\ y=y(s)(=f(x(s))) \end{cases} $$

と表されます。

このパラメータ $ s $ のことを弧長パラメータといいます。ここで、

$$ \mathbf{p}(s)=(x(s),y(s))=(x(s),f(x(s))) $$

とおきます。すると、曲線はベクトル値関数 $ \mathbf{p}(s) $ の終点の軌跡となります。

(つまり、 $ \mathbf{p}(s) $ は曲線の位置ベクトルとなります。)

ここで、 $ {}’=\frac{d}{ds} $ と書くことにすると、 $ \mathbf{p}'(s)=(x'(s),y'(s)) $ は接ベクトルとなります。

また、

$$ x'(s)=\frac{dx}{ds}=\frac{1}{\frac{ds}{dx}}=\frac{1}{\sqrt{1+(f'(x))^2}} $$

より、

$$ \mathbf{p}'(s)=\frac{d}{ds}(x(s),f(x(s)))=\frac{dx}{ds}\frac{d}{dx}(x,f(x))|_{x=x(s)}=\frac{1}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}(1,f'(x(s))) $$

であるので、弧長パラメータについて次のことが成り立ちます。

$$ \|\mathbf{p}'(s)\|=1 \quad (任意のs) $$

逆に、 $ \mathbf{p}(s)=(x(s),y(s)) $ が $ \|\mathbf{p}'(s)\|\equiv 1 $ であるとき、 $ s $ は弧長パラメータになります。実際、 $ \mathbf{p}(s) $ の $ s_1≦s≦s_2 $ の範囲の弧長は \[ \int_{s_1}^{s_2}\sqrt{(x'(s))^2+(y'(s))^2}ds=\int_{s_1}^{s_2}\|\mathbf{p}'(s)\|ds=\int_{s_1}^{s_2}ds=s_2-s_1 \]

弧長パラメータによる平面曲線の曲率の定義

弧長パラメータを用いて平面曲線の曲率を定義してみましょう。

まず、 $ \mathbf{p}'(s) $ を反時計回りに $ \frac{\pi}{2} $ だけ回転して得られるベクトル

$$ \mathbf{n}(s)=\frac{1}{\sqrt{1+(f'(x(s)))^2}}(-f'(x(s)),1) $$

は単位法線ベクトルとなります。

$ \|\mathbf{p}'(s)\|\equiv 1 $ であるので、

$$ \begin{align} 0&=\frac{d}{ds}\|\mathbf{p}'(s)\|^2=\frac{d}{ds}(\mathbf{p}'(s),\mathbf{p}'(s)) \\ &=\mathbf{p}^{\prime\prime}(s)\cdot \mathbf{p}'(s)+\mathbf{p}'(s)\cdot \mathbf{p}^{\prime\prime}(s)=2\mathbf{p}'(s)\cdot \mathbf{p}^{\prime\prime}(s) \end{align} $$

と書けます。したがって、 $ \mathbf{p}^{\prime\prime} $ は $ \mathbf{p}’ $ と直交します。

つまり、 $ \mathbf{p}^{\prime\prime} $ は $ \mathbf{n} $ と平行となるので、ある $ \kappa(s) $ が存在して、

$$ \mathbf{p}^{\prime\prime}(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s), \quad \kappa(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)\cdot\mathbf{n}(s)=\mathbf{n}(s)\cdot \mathbf{p}^{\prime\prime}(s) \tag{1} $$

と表せます。この $ \kappa $ を $ f $ とその導関数を用いて表してみましょう。

$ \mathbf{n}(s)\cdot \mathbf{p}'(s)\equiv 0 $ より、両辺を $ s $ で微分すると、

$$ 0=(\mathbf{n}(s)\cdot \mathbf{p}'(s))’=\mathbf{n}'(s)\cdot \mathbf{p}'(s)+\mathbf{n}(s)\cdot \mathbf{p}^{\prime\prime}(s)=\mathbf{n}'(s)\cdot \mathbf{p}'(s)+\kappa (s) $$

であるので、

$$ \kappa(s)=-\mathbf{n}'(s)\cdot \mathbf{p}'(s)=-\frac{dx}{ds}\frac{d}{dx}\mathbf{n}(s(x))\cdot \mathbf{p}'(s(x)) \tag{2} $$

ここで、 $ \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{1+(f'(x))^2}}=\frac{dx}{ds} $ とおくと、

$$ \frac{d}{dx}\mathbf{n}(s(x))=\frac{d}{dx}\{\varphi(x)(-f'(x),1)\}=\varphi'(x)(-f'(x),1)+\varphi(x)(-f^{\prime\prime}(x),0) $$

$$ \mathbf{p}'(s(x))=\varphi(x)(1,f'(x)) $$

したがって、

$$ \begin{align} \kappa&=-\varphi(x)\{\varphi'(x)(-f'(x),1)+\varphi(x)(-f^{\prime\prime}(x),0)\}\cdot \varphi(x)(2,f'(x)) \\ &=\varphi^3f^{\prime\prime}(x)=\frac{f^{\prime\prime}(x)}{(1+(f'(x))^2)^{\frac{3}{2}}} \end{align} \tag{3} $$

と表せます。特に、 $ |\kappa|=k $ となります。($k$ は前回定義した曲率)

また、この $ \kappa(s) $ のことも平面曲線の曲率といいます。

前回定義した曲率 $ k $ は曲線の曲がり具合を表す量でしたが、 $ \kappa $ は曲線の曲がり具合と曲がる方向を表す量であり、曲線の向きに依存します。(次の例をご覧ください。)

例1

半径 $ r $ の円の曲率 $ \kappa $ は次のようになる。