ベクトル解析13：ストークスの定理とグリーンの定理

まず、 \( D \) が長方形領域

$$ D=\{ (x,y) | a≦x≦b, \ c≦y ≦d\} $$

のとき、式(1)が成り立つことを示します。

境界 \( \partial D \) は4つの線分

$$ C_1=\{ (t,c) | a≦t≦b \}, \quad C_2=\{ (b,t) | c≦t≦d\}, $$

$$ C_3=\{ (a+b-t,d) | a≦t≦b \}, \quad C_4=\{ (a,c+d-t) | c≦t≦d\}, $$

をつないだものであるので、

$$ \int_{\partial D}fdx=\int_{C_1}fdx+\int_{C_2}fdx+\int_{C_3}fdx+\int_{C_4}fdx $$

ここで、 \( C_2,C_4 \) 上では \( \frac{dx}{dt}=0 \) であるので、

$$ \int_{C_2}fdx=\int_{C_4}fdx=0 $$

したがって、

$$ \begin{align} \int_{\partial D}fdx&=\int_{C_1}fdx+\int_{C_3}fdx \\ &=\int_a^bf(t,c)dt+\int_a^bf(a+b-t,d)\cdot (-1) dt \end{align} $$

となるので、 \( s=a+b-t \) と変数変換して \( s \) をあらためて \( t \) とおくと、

$$ \begin{align} \int_a^bf(a+b-t,d)dt&=\int_b^af(s,d)\cdot (-1)ds=\int_a^bf(t,d)dt \end{align} $$

したがって、

$$ \begin{align} \int_{\partial D}fdx&=\int_a^b(f(t,c)-f(t,d))dt=-\int_a^b(f(x,d)-f(x,c))dx \\ &=-\int_a^b dx\int_c^d \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dy=-\iint_D\frac{\partial f}{\partial y}dxdy \end{align} $$

同様にして、

$$ \int_{\partial D}gdy=\iint_D\frac{\partial g}{\partial x}dxdy $$

がいえるので、式(1)が成り立ちます。

\( D \) が一般の領域の場合は \( D \) を微小な長方形領域に分割することにより、同様のことが成り立ちます。

まず、曲面 \( S \) が \( xy \) 平面に平行な平面 \( z=c \) 上にある場合を考えます。つまり、

$$ S=\{ (x,y,z) | (x,y)\in D, \ z=c \} $$

ただし、 \( D \) は \( xy \) 平面上の単純閉曲線で囲まれた閉領域とします。また、

$$ \mathbf{f}(x,y,z)=(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)), \quad \mathbf{n}=(0,0,1) $$

とします。 \( S \) の面積要素は \( dS=dxdy \) であるので、グリーンの定理より、

$$ \begin{align} \iint_S\text{rot} \ \mathbf{f}\cdot \mathbf{n}dS&=\iint_D\left( \frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y} \right) dxdy \\ &=\int_{\partial D}(fdx+gdy)=\int_{\partial S}\mathbf{f}\cdot d\mathbf{p} \end{align} $$

が成り立ちます。

同様に、曲面 \( S \) が \( yz \) 平面、 \( xz \) 平面に平行な平面上にある場合も上の式は成り立ちます。

一般の曲面 \( S \) に対しては、 \( xy \) 平面、 \( yz \) 平面、 \( xz \) 平面に平行な微小長方形面に分割することにより、同様のことが成り立ちます。