こんにちは、ひかりです。
今回はベクトル解析から勾配・発散・回転の性質について解説していきます。
この記事では以下のことを紹介します。
- スカラー場の勾配の性質について
- ベクトル場の発散の性質について
- ベクトル場の回転の性質について
- 勾配・発散・回転を組み合わた性質について
スカラー場の勾配の性質
ベクトル解析07の記事でスカラー場の勾配ベクトル \( \text{grad} \ f \) について紹介しました。
ここでは、その勾配ベクトルの性質について見ていきましょう。
\( f,g \) を2変数または3変数のスカラー値関数、 \( c_1,c_2 \) を定数とする。このとき、次が成り立つ。
(1) $$ \text{grad} \ (c_1f+c_2g)=c_1\text{grad} \ f+c_2\text{grad} \ g $$
\( \nabla \) を用いて表すと、次のようになる。
$$ \nabla(c_1f+c_2g)=c_1\nabla f+c_2\nabla g $$
(2) $$ \text{grad} \ (fg)=(\text{grad} \ f)g+f(\text{grad} \ g) $$
\( \nabla \) を用いて表すと、次のようになる。
$$ \nabla(fg)=(\nabla f)g+f(\nabla g) $$
(3) $$ \text{grad} \ \left(\frac{f}{g}\right)=\frac{(\text{grad} \ f)g-f(\text{grad} \ g)}{g^2} \quad (g\not=0) $$
\( \nabla \) を用いて表すと、次のようになる。
$$ \nabla\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{(\nabla f)g-f(\nabla g)}{g^2} \quad (g\not=0) $$
(4) $$ \text{grad} \ g(f)=g'(f)\text{grad} \ f $$
\( \nabla \) を用いて表すと、次のようになる。
$$ \nabla g(f)=g'(f)\nabla f $$
定理1の証明(気になる方だけクリックしてください)
(1),(3)のみを3変数で示します。(2),(4)も同様に示せます。
(1) $$ \begin{align} &\text{grad} \ (c_1f+c_2g) \\ &=\left( \frac {\partial}{\partial x}(c_1f+c_2g),\frac{\partial}{\partial y}(c_1f+c_2g), \frac{\partial}{\partial z}(c_1f+c_2g) \right) \\ &=\left( c_1\frac{\partial f}{\partial x}+c_2\frac{\partial g}{\partial x},c_1\frac{\partial f}{\partial y}+c_2\frac{\partial g}{\partial y},c_1\frac{\partial f}{\partial z}+c_2\frac{\partial g}{\partial z}\right) \\ &=c_1\left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right)+c_2\left( \frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z} \right) \\ &=c_1\text{grad} \ f+c_2\text{grad} \ g \end{align} $$
(3) $$ \begin{align} &\text{grad} \ \left(\frac{f}{g}\right) \\ &=\left( \frac {\partial}{\partial x}\left(\frac{f}{g}\right),\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{f}{g}\right), \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{f}{g}\right) \right) \\ &=\left( \frac{1}{g^2}\left( \frac{\partial f}{\partial x}g-f\frac{\partial g}{\partial x}\right),\frac{1}{g^2}\left( \frac{\partial f}{\partial y}g-f\frac{\partial g}{\partial y}\right),\frac{1}{g^2}\left( \frac{\partial f}{\partial z}g-f\frac{\partial g}{\partial z}\right)\right) \\ &=\frac{1}{g^2}\left\{ \left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right)g-f\left( \frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right)\right\} \\ &=\frac{(\nabla f)g-f(\nabla g)}{g^2} \end{align} $$
ベクトル場の発散の性質
ベクトル解析07の記事でベクトル場の発散 \( \text{div} \ \mathbf{f} \) について紹介しました。
ここでは、その発散の性質について見ていきましょう。
\( \mathbf{f},\mathbf{g} \) をベクトル値関数、 \( \varphi \) をスカラー値関数、 \( c_1,c_2 \) を定数とする。このとき、次が成り立つ。
(1) $$ \text{div} \ (c_1\mathbf{f}+c_2\mathbf{g})=c_1\text{div} \ \mathbf{f}+c_2\text{div} \ \mathbf{g} $$
\( \nabla \) を用いて表すと、次のようになる。
$$ \nabla\cdot (c_1\mathbf{f}+c_2\mathbf{g})=c_1\nabla\cdot \mathbf{f}+c_2\nabla\cdot \mathbf{g} $$
(2) $$ \text{div} \ (\varphi\mathbf{f})=(\text{grad} \ \varphi)\cdot \mathbf{f}+\varphi(\text{div} \ \mathbf{f}) $$
\( \nabla \) を用いて表すと、次のようになる。
$$ \nabla\cdot (\varphi\mathbf{f})=(\nabla \varphi)\cdot \mathbf{f}+\varphi(\nabla \cdot \mathbf{f}) $$
定理2の証明(気になる方だけクリックしてください)
3変数にて示します。
(1) $$ \mathbf{f}=(f_1,g_1,h_1), \quad \mathbf{g}=(f_2,g_2,h_2) $$
とおくと、
$$ \begin{align} & \text{div} \ (c_1\mathbf{f}+c_2\mathbf{g}) \\ &=\frac{\partial}{\partial x}(c_1f_1+c_2f_2)+\frac{\partial}{\partial y}(c_1g_1+c_2g_2)+\frac{\partial}{\partial z}(c_1h_1+c_2h_2) \\ &=c_1\left( \frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial g_1}{\partial y}+\frac{\partial h_1}{\partial z}\right)+c_2\left( \frac{\partial f_2}{\partial x}+\frac{\partial g_2}{\partial y}+\frac{\partial h_2}{\partial z}\right) \\ &=c_1\text{div} \ \mathbf{f}+c_2\text{div} \ \mathbf{g} \end{align} $$
(2) $$ \mathbf{f}=(f,g,h) $$
とおくと、
$$ \begin{align} & \text{div} \ (\varphi\mathbf{f}) \\ &=\frac{\partial}{\partial x}(\varphi f)+\frac{\partial}{\partial y}(\varphi g)+\frac{\partial}{\partial z}(\varphi h) \\ &=\left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}f+\frac{\partial \varphi}{\partial y}g+\frac{\partial \varphi}{\partial z}h\right)+\varphi\left( \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}\right) \\ &=\left( \frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z} \right)\cdot (f,g,h)+\varphi(\text{div} \ \mathbf{f}) \\ &=(\text{grad} \ \varphi)\cdot \mathbf{f}+\varphi(\text{div} \ \mathbf{f}) \end{align} $$
ベクトル場の回転の性質
ベクトル解析07の記事でベクトル場の回転 \( \text{rot} \ \mathbf{f} \) について紹介しました。
ここでは、その回転の性質について見ていきましょう。
\( \mathbf{f},\mathbf{g} \) を3変数ベクトル値関数、 \( \varphi \) を3変数スカラー値関数、 \( c_1,c_2 \) を定数とする。このとき、次が成り立つ。
(1) $$ \text{rot} \ (c_1\mathbf{f}+c_2\mathbf{g})=c_1\text{rot} \ \mathbf{f}+c_2\text{rot} \ \mathbf{g} $$
\( \nabla \) を用いて表すと、次のようになる。
$$ \nabla\times (c_1\mathbf{f}+c_2\mathbf{g})=c_1\nabla\times \mathbf{f}+c_2\nabla\times \mathbf{g} $$
(2) $$ \text{rot} \ (\varphi\mathbf{f})=(\text{grad} \ \varphi)\times \mathbf{f}+\varphi(\text{rot} \ \mathbf{f}) $$
\( \nabla \) を用いて表すと、次のようになる。
$$ \nabla\times (\varphi\mathbf{f})=(\nabla \varphi)\times \mathbf{f}+\varphi(\nabla \times \mathbf{f}) $$
定理3の証明(気になる方だけクリックしてください)
(1) $$ \mathbf{f}=(f_1,g_1,h_1), \quad \mathbf{g}=(f_2,g_2,h_2) $$
とおくと、
$$ \begin{align} &\text{rot} \ (c_1\mathbf{f}+c_2\mathbf{g}) \\ &=\text{rot} \ (c_1f_1+c_2f_2,c_1g_1+c_2g_2,c_1h_1+c_2h_2) \\ &=\left( c_1\frac{\partial h_1}{\partial y}+c_2\frac{\partial h_2}{\partial y}-c_1\frac{\partial g_1}{\partial z}-c_2\frac{\partial g_2}{\partial z},c_1\frac{\partial f_1}{\partial z}+c_2\frac{\partial f_2}{\partial z}-c_1\frac{\partial h_1}{\partial x}-c_2\frac{\partial h_2}{\partial x}, \right. \\ & \quad\quad \left. c_1\frac{\partial g_1}{\partial x}+c_2\frac{\partial g_2}{\partial x}-c_1\frac{\partial f_1}{\partial y}-c_2\frac{\partial f_2}{\partial y}\right) \\ &=c_1\left( \frac{\partial h_1}{\partial y}-\frac{\partial g_1}{\partial z},\frac{\partial f_1}{\partial z}-\frac{\partial h_1}{\partial x},\frac{\partial g_1}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial y}\right)+c_2\left( \frac{\partial h_2}{\partial y}-\frac{\partial g_2}{\partial z},\frac{\partial f_2}{\partial z}-\frac{\partial h_2}{\partial x},\frac{\partial g_2}{\partial x}-\frac{\partial f_2}{\partial y}\right) \\ &=c_1\text{rot} \ \mathbf{f}+c_2\text{rot} \ \mathbf{g} \end{align} $$
(2) $$ \mathbf{f}=(f,g,h) $$
とおくと、
$$ \begin{align} &\text{rot} \ (\varphi\mathbf{f}) \\ &=\text{rot} \ (\varphi f,\varphi g,\varphi h) \\ &=\left( \frac{\partial \varphi}{\partial y}h+\varphi\frac{\partial h}{\partial y}-\frac{\partial \varphi}{\partial z}g-\varphi\frac{\partial g}{\partial z},\frac{\partial \varphi}{\partial z}f+\varphi\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial \varphi}{\partial x}h-\varphi\frac{\partial h}{\partial x}, \right. \\ & \quad\quad \left. \frac{\partial \varphi}{\partial x}g+\varphi\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial \varphi}{\partial y}f-\varphi\frac{\partial f}{\partial y}\right) \\ &=\left( \frac{\partial \varphi}{\partial y}h-\frac{\partial \varphi}{\partial z}g,\frac{\partial \varphi}{\partial z}f-\frac{\partial \varphi}{\partial x}h,\frac{\partial \varphi}{\partial x}g-\frac{\partial \varphi}{\partial y}f\right)+\varphi\left( \frac{\partial h}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial z},\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\right) \\ &=(\text{grad} \ \varphi)\times \mathbf{f}+\varphi(\text{rot} \ \mathbf{f}) \end{align} $$
勾配・発散・回転を組み合わせた性質
最後に、勾配・発散・回転を組み合わせた公式をいくつか紹介していきます。
\( \mathbf{f} \) を \( C^2 \) 級ベクトル値関数、 \( \varphi \) を \( C^2 \) 級スカラー値関数とする。このとき、次が成り立つ。
(1) $$ \text{div} \ \text{rot} \ \mathbf{f}=\nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{f})=0 $$
(2) $$ \text{rot} \ \text{grad} \ \varphi=\nabla\times(\nabla \varphi)=\mathbf{0} $$
定理4の証明(気になる方だけクリックしてください)
(1) $$ \mathbf{f}=(f,g,h) $$
とおくと、
$$ \begin{align} \text{div} \ \text{rot} \ \mathbf{f}&=\nabla\cdot(\nabla\times \mathbf{f}) \\ &=\nabla \cdot \left( \frac{\partial h}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial z},\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y} \right) \\ &=\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial h}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial z}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial h}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y} \right) \\ &=\frac{\partial^2 h}{\partial y\partial x}-\frac{\partial^2 g}{\partial z\partial x}+\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial y}-\frac{\partial^2 h}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial z}-\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial z}=0 \end{align} $$
(\( C^2 \) 級なのでシュワルツの定理より、導関数の順番に依らず同じ値になります)
(2) $$ \begin{align} \text{rot} \ \text{grad} \ \varphi&=\nabla\times(\nabla \varphi)=\nabla \times \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) \\ &=\left( \frac{\partial^2\varphi}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial z \partial y},\frac{\partial^2\varphi}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial z},\frac{\partial^2\varphi}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2\varphi}{\partial y\partial x} \right) \\ &=(0,0,0)=\mathbf{0} \end{align} $$
(\( C^2 \) 級なのでシュワルツの定理より、導関数の順番に依らず同じ値になります)
定理4に関連して、ラプラシアン \( \Delta \) を定義します。
(1) 平面スカラー場 \( f(x,y) \) に対してラプラスの演算子(ラプラシアン) \( \Delta f \) を次で定義する。
$$ \Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} $$
これは \( \nabla \) を用いて次のように表される。
$$ \begin{align} \Delta f&=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right) \\ &=\left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}\right)\cdot \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right)=\nabla\cdot(\nabla f)=\text{div}(\text{grad} \ f) \end{align} $$
(2) 空間スカラー場 \( f(x,y,z) \) に対してラプラスの演算子(ラプラシアン) \( \Delta f \) を次で定義する。
$$ \Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} $$
これは \( \nabla \) を用いて次のように表される。
$$ \begin{align} \Delta f&=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial f}{\partial z} \right) \\ &=\left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z} \right)=\nabla\cdot(\nabla f)=\text{div}(\text{grad} \ f) \end{align} $$
(1) 次の3変数スカラー値関数を考える。
$$ f(x,y,z)=3x^2y+xy^3z $$
このとき、
$$ \begin{align} \Delta f&=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \\ &=\frac{\partial}{\partial x}(6xy+y^3z)+\frac{\partial}{\partial y}(3x^2+3xy^2z)+\frac{\partial}{\partial z}(xy^3) \\ &=6y+6xyz \end{align} $$
(2) 次の2変数スカラー値関数を考える。
$$ f(x,y)=e^{-x}(x\sin y-y\cos y) $$
このとき、
$$ \frac{\partial f}{\partial x}=e^{-x}\sin y-xe^{-x}\sin y+ye^{-x}\cos y $$
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-2e^{-x}\sin y+xe^{-x}\sin y-ye^{-x}\cos y $$
$$ \frac{\partial f}{\partial y}=xe^{-x}\cos y+ye^{-x}\sin y-e^{-x}\cos y $$
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-xe^{-x}\sin y+2e^{-x}\sin y+ye^{-x}\cos y $$
より、
$$ \begin{align} \Delta f&=(-2e^{-x}\sin y+xe^{-x}\sin y-ye^{-x}\cos y) \\ & \quad +(-xe^{-x}\sin y+2e^{-x}\sin y+ye^{-x}\cos y)=0 \end{align} $$
このように、 \( \Delta f=0 \) となる関数のことを調和関数という。
引き続き性質を見ていきましょう。
\( C^1 \) 級空間ベクトル場 \( \mathbf{f},\mathbf{g} \) とする。このとき、次が成り立つ。
(1) $$ \text{grad} \ (\mathbf{f}\cdot \mathbf{g})=(\mathbf{f}\cdot \nabla)\mathbf{g}+(\mathbf{g}\cdot \nabla)\mathbf{f}+\mathbf{g}\times(\text{rot} \ \mathbf{f})+\mathbf{f}\times (\text{rot} \ \mathbf{g}) $$
(2) $$ \text{div} \ (\mathbf{f}\times \mathbf{g})=(\text{rot} \ \mathbf{f})\cdot \mathbf{g}-\mathbf{f}\cdot (\text{rot} \ \mathbf{g}) $$
(3) $$ \text{rot} \ (\mathbf{f}\times \mathbf{g})=(\text{div} \ \mathbf{g})\mathbf{f}-(\text{div} \ \mathbf{f})\mathbf{g}+(\mathbf{g}\cdot \nabla)\mathbf{f}-(\mathbf{f}\cdot\nabla)\mathbf{g} $$
(4) \( \mathbf{f},\mathbf{g} \) を \( C^2 \) 級とすると、
$$ \text{rot} \ \text{rot} \ \mathbf{f}=\text{grad} \ \text{div} \ \mathbf{f}-\Delta \mathbf{f} $$
ここで、 \( \mathbf{f}=(f,g,h) \) に対して、
$$ \Delta \mathbf{f}=(\Delta f,\Delta g,\Delta h) $$
(5) \( \mathbf{f},\mathbf{g} \) を \( C^3 \) 級とすると、
$$ \text{rot} \ \text{rot} \ \text{rot} \ \mathbf{f}=-\Delta(\text{rot} \ \mathbf{f}) $$
定理5の証明(気になる方だけクリックしてください)
(2),(4)のみ示します。(1),(3),(5)も同様に示せます。
(2) $$ \mathbf{f}=(f_1,g_1,h_1), \quad \mathbf{g}=(f_2,g_2,h_2) $$
とおきます。まず、左辺は
$$ \begin{align} \text{div} \ (\mathbf{f}\times \mathbf{g})&=\text{div} \ (g_1h_2-h_1g_2,h_1f_2-f_1h_2,f_1g_2-g_1f_2) \\ &=\frac{\partial}{\partial x}(g_1h_2-h_1g_2)+\frac{\partial}{\partial y}(h_1f_2-f_1h_2)+\frac{\partial}{\partial z}(f_1g_2-g_1f_2) \end{align} $$
であり、右辺は
$$ \begin{align} &(\text{rot} \ \mathbf{f})\cdot \mathbf{g}-\mathbf{f}\cdot (\text{rot} \ \mathbf{g}) \\ &=\left( \frac{\partial h_1}{\partial y}-\frac{\partial g_1}{\partial z},\frac{\partial f_1}{\partial z}-\frac{\partial h_1}{\partial x},\frac{\partial g_1}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial y} \right)\cdot (f_2,g_2,h_2) \\ & \quad \quad -(f_1,g_1,h_1)\cdot \left( \frac{\partial h_2}{\partial y}-\frac{\partial g_2}{\partial z},\frac{\partial f_2}{\partial z}-\frac{\partial h_2}{\partial x},\frac{\partial g_2}{\partial x}-\frac{\partial f_2}{\partial y} \right) \\ &=\frac{\partial}{\partial x}(g_1h_2-h_1g_2)+\frac{\partial}{\partial y}(h_1f_2-f_1h_2)+\frac{\partial}{\partial z}(f_1g_2-g_1f_2) \end{align} $$
となるので、
$$ \text{div} \ (\mathbf{f}\times \mathbf{g})=(\text{rot} \ \mathbf{f})\cdot \mathbf{g}-\mathbf{f}\cdot (\text{rot} \ \mathbf{g}) $$
(4) \( x \) 成分のみ示します。 \( y,z \) 成分に関しても同様に示せます。まず、
$$ \mathbf{f}=(f,g,h) $$
とおきます。まず、左辺は
$$ \begin{align} \text{rot} \ \text{rot} \ \mathbf{f}&=\text{rot} \ \left( \frac{\partial h}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial z},\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial h}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y} \right) \end{align} $$
より、 \( x \) 成分は
$$ \begin{align} \text{rot} \ \text{rot} \ \mathbf{f}のx成分&=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial h}{\partial x}\right) \\ &=\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial y}-\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial z}+\frac{\partial^2 h}{\partial x\partial z} \end{align} $$
右辺は
$$ \begin{align} \text{grad} \ \text{div} \ \mathbf{f}-\Delta \mathbf{f}&=\text{grad}\left( \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}\right)-\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) (f,g,h) \end{align} $$
より、 \( x \) 成分は
$$ \begin{align} \text{grad} \ \text{div} \ \mathbf{f}-\Delta \mathbf{f}のx成分&=\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}\right)-\left( \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}\right) \\ &=\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial y}-\frac{\partial^2 f}{\partial z\partial z}+\frac{\partial^2 h}{\partial x\partial z} \end{align} $$
したがって、
$$ \text{rot} \ \text{rot} \ \mathbf{f}=\text{grad} \ \text{div} \ \mathbf{f}-\Delta \mathbf{f} $$
今回はここまでです。お疲れ様でした。また次回にお会いしましょう。