線形代数学13：行列と一次変換

こんにちは、ひかりです。

今回は線形代数学から行列と一次変換について解説していきます。

連立一次方程式の解法について知りたい方は線形代数学11と12の記事をご覧ください。

この記事では以下のことを紹介します。

一次変換とは

今回は一次変換について解説していきます。

2次の正方行列 \( A \) を用いると、 \( A\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} \) で点 \( (x,y) \) を点 \( (x’,y’) \) に移動することができます。

この点の移動のことを一次変換といいます。

この例の関係を図示すると、次のようになります。

基本的な点の移動

ここでは4つの基本的な点の移動について紹介する。

\( x \) 軸に関して対称移動

これは \( \begin{cases} ax+by=x \\ cx+dy=-y \end{cases} \) と表せます。

解くと、 \( a=1, \ b=0, \ c=0, \ d=-1 \) であるので、 \( \color{red}{A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
} \) となります。

\( y \) 軸に関して対称移動

これは \( \begin{cases} ax+by=-x \\ cx+dy=y \end{cases} \) と表せます。

解くと、 \( a=-1, \ b=0, \ c=0, \ d=1 \) であるので、 \( \color{red}{A=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
} \) となります。

原点に関して対称移動

$$ \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix} $$

(2つの行列のかける順番に注意してください)

よって、

$$ \color{red}{A}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\color{red}{=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}} $$

\( y=x \) に関して対称移動

これは \( \begin{cases} ax+by=y \\ cx+dy=x \end{cases} \) と表せます。

解くと、 \( a=0, \ b=1, \ c=1, \ d=0 \) であるので、 \( \color{red}{A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
} \) となります。

点の原点まわりの回転移動

点 \( (x,y) \) を原点まわりに \( \theta \) だけ回転移動する行列 \( R(\theta) \) を求めたい。

すると、

$$ \begin{align} &x=r\cos\alpha, \ y=r\sin\alpha, \\ &x’=r\cos(\alpha+\theta), \ y’=r\sin(\alpha+\theta) \end{align} $$

よって、加法定理より、

$$ \begin{align} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} r\cos(\alpha+\theta) \\ r\sin(\alpha+\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r(\cos\alpha\cos\theta-\sin\alpha\sin\theta) \\ r(\sin\alpha\cos\theta+\cos\alpha\sin\theta) \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \color{red}{r\cos\alpha}\cos\theta-\color{red}{r\sin\alpha}\sin\theta \\ \color{red}{r\cos\alpha}\sin\theta+\color{red}{r\sin\alpha}\cos\theta \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \color{red}{x}\cos\theta-\color{red}{y}\sin\theta \\ \color{red}{x}\sin\theta+\color{red}{y}\cos\theta \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align} $$

したがって、 \( \color{red}{R(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}} \) となります。

直線 \( y=mx \) に関する対称移動

\( y=x \) に限らず、一般の直線 \( y=mx \) に関して対称移動する行列を求めたい。

点 \( (x,y) \) が点 \( (x’,y’) \) に移るとします。

したがって、

$$ mx’-y’=-mx+y \tag{1} $$

となります。

次に2点 \( (x,y),(x’,y’) \) を結ぶ直線は \( y=mx \) と直交します。　

この直線を \( Y=m’X \) とおくと、 \( y=m’x, \ y’=m’x’ \) より、 \( y’-y=m'(x’-x) \) となります。

よって、この直線の傾き \( m’ \) は \( m’=\frac{y’-y}{x’-x} \)

\( y=mx \) に直交する直線の傾きは \( -\frac{1}{m} \) であるので、 \( \frac{y’-y}{x’-x}=-\frac{1}{m} \)

これを解くと、

$$ x’+my’=x+my \tag{2} $$

となります。(1),(2)を合わせると、

$$ \begin{pmatrix} m & -1 \\ 1 & m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -m & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \tag{3} $$

\( \begin{vmatrix} m & -1 \\ 1 & m \end{vmatrix}=m^2+1\not=0 \) より、 \( \begin{pmatrix} m & -1 \\ 1 & m \end{pmatrix} \) は正則になります。

よって、逆行列 \( \frac{1}{m^2+1}\begin{pmatrix} m & 1 \\ -1 & m \end{pmatrix} \) を(3)の両辺に左からかけると、

$$ \begin{align} \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}&=\frac{1}{m^2+1}\begin{pmatrix} m & 1 \\ -1 & m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -m & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &=\frac{1}{1+m^2}\begin{pmatrix} 1-m^2 & 2m \\ 2m & -(1-m^2) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} \frac{1-m^2}{1+m^2} & \frac{2m}{1+m^2} \\ \frac{2m}{1+m^2} & -\frac{1-m^2}{1+m^2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{align} $$

ここで、

$$ \begin{align} \frac{1-m^2}{1+m^2}&=\frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\cos^2\theta\left( 1-\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \right) \quad (1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}, \ \tan^2\theta=\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \ \text{より}) \\ &=\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos2\theta \end{align} $$

$$ \begin{align} \frac{2m}{1+m^2}&=\frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta}=2\cos^2\theta\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (1+\tan^2\theta=\frac{1}{\cos^2\theta}, \ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \ \text{より}) \\ &=2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta \end{align} $$

したがって、

$$ \begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

よって、 \( \color{red}{T(\theta)=\begin{pmatrix} \cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta \end{pmatrix}} \) となります。

今回はここまでです。お疲れ様でした。また次回にお会いしましょう。